論理和と論理積の分配法則 その3

(A∨B)∧(A∨C)⇔A∨(B∧C)
は同値変形できたので、次はコレ。
(A∧B)∨(A∧C)⇔A∧(B∨C)

論理和と論理積の分配法則

証明

1.[A∧B],[A∧C](仮定1,仮定2)
2.A,B(∧除去)
3.B∨C(∨導入)
4.A∧(B∨C)(∧導入)
5.A∧B→A∧(B∨C)(→導入)
5.A,C(∧除去)
6.B∨C（∨導入）
7.A∧(B∨C)(∧導入)
9.A∧C→A∧(B∨C)(→導入)
10.[(A∧B)∨(A∧C)](仮定3)
11.A∧(B∨C)(∨除去)
12.(A∧B)∨(A∧C)→A∧(B∨C)(→導入)

こんな感じ

補足

以下解説。
1.仮定1,2を用意。
これは後の∨導入で除去されます。
2.∧除去でA∧Bを命題変数A,Bに分解
3.分解した命題変数に∨導入
4.∧導入で後の∨除去に繋る論理式を演繹
5.→導入で論理和除去の準備
6〜9までは同じ作業でA∧(B∨C)を演繹
10.新たに仮定
11.A∧B→A∧(B∨C),A∧C→A∧(B∨C)
なので∨除去でA∧(B∨C)を演繹、仮定を解消
12.最後に含意導入

分配法則の定理が得られます。