背理法で二重否定の除去

股関節おじさんの勉強部屋

背理法によって命題pの二重否定¬¬pがpと同値であることを演繹します。

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二重否定の除去

背理法

命題「¬pと¬¬p」が矛盾であることを背理法(否定除去)により演繹します。この演繹を日本語に翻訳すると「裏の裏は裏ではない、よって表である」となります。

¬pと¬¬pは両立しない

$\huge{\frac{\frac{\frac{¬¬p,\cancel{¬p}}{¬¬p∧¬p}}{⊥}}{p}}$

まずは一行目。二つの命題を仮定します。次に論理積導入により矛盾を演繹。 
否定除去(背理法)により、命題¬pをキャンセルしpを演繹。命題pの二重否定と否定の仮定からpが結論されました。

論理積の導入 (ろんりせきのどうにゅう、英: Conjunction introduction)(連言導入則、
∧\land-導入則とも)[1][2][3]は、命題論理における妥当性のある推論規則のひとつである。この規則を用いることによって、論理式の証明の中に新たに論理積(「
∧)を加えることができる。もし「P」という命題が真であり、かつ「Q」という命題が真であれば、「PかつQ」という命題もまた真である、という推論規則である。例えば、「雨が降っている」という命題が真であり、「私は部屋の中にいる」という命題が真であれば、「雨が降っており、私は部屋の中にいる」という命題は真である。この規則は、下記のように記述することができる。$\displaystyle {\frac {P,Q}{\therefore P\land Q}}$
ここで、命題「P」と命題「Q」がそれぞれ証明のなかのどの行に出てきても、その後の行に「P \land Q」を示すことができるものとされている。

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第41第東洋太平洋(OPBF)ウェルター級王者
元WBC世界同級34位
元WBO-AP同級3位
元角海老宝石ジム所属

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