集合の濃度と全単射

股関節おじさんの勉強部屋

2023.02.202023.02.21

とりあえず1か月振りなのでこれまでの流れを復習します。

ここまでの流れ。
集合について学んでいると同値関係って言葉が頻出したので、かなり脱線して「同値」って何ぞやってことをWikipediaの記事を潜って学んでいました。同値類は反射律、推移律、対称律という「関係」の概念で説明されていたので、今度は「関係」についてWikipediaを徘徊。調べる内にだんだん同値関係の内容はどうでもよくなって、どうして「関係」って概念を集合に定義するのかが気になり始める。写像という似たような概念があるから。一通り現段階で納得できる個人的な見解へ行きついた段階で沖縄を離れたので数学の勉強は一時中断。

興味に引きずられて注意が散漫になっちゃたんで、もう一度集合に戻ります。今回は集合の濃度について。Wikipedia中心だとあっち行ったりこっち行ったりで方向性が定まらないので合宿中に集合論の比較的親切に教えてくれそうな本を購入しました。言い回しなんかに古さを感じる本ですが、とても読みやすいです。
この本の内容を元に進行し、Wikipediaで補足していきます。

Bitly

濃度

とりあえず集合の濃度についてWikipediaから引用。

【基数】
数学において基数（きすう、cardinal number または cardinal）とは、集合の濃度（cardinality、大きさ、サイズ）を測るために定義された自然数の一般化である。有限集合の濃度つまり有限集合の要素の個数は自然数で表される。
Wikipedia

【濃度】
濃度、カーディナリティ（のうど、英: cardinality）とは、有限集合における「元の個数」を一般の集合に拡張したものである^[1]。集合の濃度は基数 (cardinal number) と呼ばれる数によって表される。

集合 X と Y の間に全単射が存在するとき X ≈ Y と書き、X と Y は濃度が等しいという。
集合 X から集合 Y のへの単射が存在するとき X ≾ Y と書き、X の濃度は Y の濃度以下であるという。
集合 X と Y について、X ≾ Y だが X ≈ Y でないとき、X ≺ Y と書き、X の濃度は Y の濃度より小さいという。

集合 X の濃度の最も古い定義は、X と一対一対応のつくすべての集合からなるクラス [X] としての定義である。これは、ZFCや関連する集合論の公理系ではうまく機能しない。
Wikipedia

【クラス】
集合論及びその応用としての数学におけるクラスまたは類（るい、英: class）は、集合(または、しばしば別の数学的対象)の集まりで、それに属する全ての元が共通にもつ性質によって紛れなく定義されるものである。
Wikipedia

クラスは同じ性質を持つ集合の集まり。濃度は集合の要素数をラベル（基数）として、その同じラベルの集合を集めたクラスのようなもの。
基数は自然数の一般化と説明されていますが、大きさの一般化？って感じでしょうか。「数」が開発された当初は順序と大きさを比較するために使われただろうと予想できます。順序はペアノの公理で後者関数によって定義されています。そう考えると、基数（濃度）は「大きさ」を表現していると言われるとしっくりきます。
とりあえずはこの理解で進めていきます。

「集合 X の濃度の最も古い定義は、X と一対一対応のつくすべての集合からなるクラス [X] としての定義である。」は、例えば要素が2つの集合は全て「2」というラベルを貼り、同じ性質（大きさ）を持つ仲間として扱う、ってことでしょうか。「クラス」の説明を見るとそんな風に感じます。