暇つぶしに見て 存在除去の認識
存在除去 定義 ∃x∈X:A(x)⊢A(c)WIIS 命題Aを満たす集合Xの元xが存在する場合、∃の除去は妥当な推論である。またしても分かったような分からんような。 証明の途中で命題の定義を満たすような何がが演繹できたらってことなのだと思い...
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暇つぶしに見て 全称除去の定義と練習問題
述語論理における全称記号∀を取り除く推論規則を見ていきます。 別名を普遍例化と呼ぶようです。 全称除去(普遍例化) 定義 例:「全ての犬は動物である。ポチは犬である。従って、ポチは動物である」ある項 a について公理スキーマとして記号的に表...
暇つぶしに見て 全称導入の練習問題
やりながら全称導入の理解を深めます。 全称導入 ∀x∀yP(x, y) ⊢ ∀y∀xP(x, y) 1.∀x∀yP(x, y)(前提)2.∀yP(x,y)(∀除去)3.P(x,y)(∀除去)4.∀xP(y)(∀導入)5.P(y,x)(∀導入...
暇つぶしに見て 全称導入と仮定の解消
∀導入定義の人の認識を結びつけるために藻掻きます。 全称導入と仮定の解消 定義 これが全称導入の定義 A(c)⊢∀x∈X:A(x)WIIS A(c)の論理式を満たすようなcは集合Xの任意の要素xに対しても成立する。cは全てのXの要素を表現す...
暇つぶしに見て 含意の結合法則
結合法則は(A∨B)∨C⇔A∨(B∨C)のようなかっこの位置を入れ替えても意味が変わらない法則。含意にも成り立つのか確かめてみます。 含意の結合法則 証明 1.(A→B)→C(仮定)2.¬(¬A∨B)∨C(同値変形)3.A∧¬B∨C(ド・モ...
暇つぶしに見て ∀除去練習問題
∀除去の理解が曖昧なので練習問題やります。やってれば何か掴んでくるだろうってことで。 全称除去 練習問題 その1 P(d) , ∀x(P(x) → (P(x) → Q(x))) ⊢ Q(d) 1.∀x(P(x)→(P(x)→Q(x))),P...
暇つぶしに見て 全称導入
所謂一般化ってやつじゃないなと。全称記号∀除去は別名「普遍汎化」とも呼ぶようです。 普遍汎化 定義 もし$\displaystyle \vdash P(x)$が導出されていれば、$\displaystyle \vdash \forall x...
暇つぶしに見て 自然数の0×x=0の証明
x×0=0は定義通り。 0×x=0 証明 数学的帰納法を用います。 x=0の場合は定義通り。1.0×02.0…(1) x=1の場合1.0×1(仮定)2.(0×0)+0(定義)3.0+0(1)より4.0…(2) x=2の場合1.0+2(仮定)...
暇つぶしに見て 自然数の0+x=xの証明
x+0=xは定義されていますが、逆バージョン0+x=xは証明定義されていませんのて証明していきます。 0+x=x 証明 1.0+0(仮定)1.0(加法定義)3.0+0⇔0…14.0+1(仮定)5.S(0+0)(加法定義)6.S(0)(1より...
暇つぶしに見て 1×0=0と1×1=1の証明
自然数の乗法 定義 自然数の加法は再帰的に、以下のように定義できる。すべての自然数 a に対して、a + 0 = aすべての自然数 a, b に対して、a + suc(b) = suc(a + b)1 := suc(0) と定義するならば、...
暇つぶしに見て 1+1=1×2の証明
自然数の加法と乗法 定義 自然数の加法は再帰的に、以下のように定義できる。1.すべての自然数 a に対して、a + 0 = a2.すべての自然数 a, b に対して、a + suc(b) = suc(a + b)1 := suc(0) と定...
暇つぶしに見て 偶数と奇数の述語論理の表現
なんとなくで述語論理の論理式を作ってみます。偶数と奇数を述語論理で表現してみます。我流なので悪しからず。 述語論理の練習 偶数 ∀k∈Ν∃x∈Ν(2k=x)任意の自然数kに対するある自然数xが存在する、それは2k=xを満たすような関係である...