数学とか

数学的帰納法無理数って何？→アルキメデスの性質って何？→無限大や無限小って何？→無限はどう対処するの？(今ここ)「無限大」というのは、「どの実数よりも大きな数」という形で捉えられていると思われるが、特定の数を表しているわけではなく、「いかな...

形式的な証明まずは形式的な証明。実数 x の正整数 n 乗は、素朴には、n 個の x を掛け合わせたものである。厳密には、次のように再帰的に定められる。(∗)x¹:=x,(∗∗)xn+1:=xⁿ×x(n≥1).x0を定義する場合には、関係式...

任意の実数x,yには必ず順序関係が定義されている。x≦y∨y≦x(完備律)また、加法は≦関係を保存する。0<x<y,0<z⇒x+z<y+z(加法律)すなわち、任意の大きな実数より大きな実数は常に創れる(実数は無限大に頭を押さえつけることはな...

順序群Gにおける正の元x, y について、xがyに対して無限小である（あるいは、yがxに対して無限大である）とは、任意の自然数 n について nx がyより小さいこと、つまり以下の不等式が成立することである。 x+⋯+x⏟n<y.ウィキペデ...

順序群Gにおける正の元x, y について、xがyに対して無限小である（あるいは、yがxに対して無限大である）とは、任意の自然数 n について nx がyより小さいこと、つまり以下の不等式が成立することである。 x+⋯+x⏟n<y.ウィキペデ...

数の大きさ∀y,∀x∈ℝ,∀n∈ℕy<nx自然数は帰納的集合なので上に有界ではない、かつ実数は加法律によりどこまでも大きくできます。∀x,y>0,∃n∈ℕ:y<nx自然数に上界がないこと、実数に下界(無限小)と上界(無限大)がないことを簡潔...

アルキメデスの性質順序群Gにおける正の元x, y について、xがyに対して無限小である（あるいは、yがxに対して無限大である）とは、任意の自然数 n について nx がyより小さいこと、つまり以下の不等式が成立することである。 x+⋯+x⏟...

差集合B から A を引いた差、差集合あるいは B における A の（相対）補集合と呼ぶ。記号を用いて書けば、x∈B∖A⟺x∈B∧x∉A,ウィキペディア上界∃a∈ℝ,∀∈A:x≤aWIIS実数の公理はデデキントの公理上限性質を持つ有界単調数...

「原罪」とは、キリスト教の用語で、アダムとイブが楽園で犯した神に背いた罪のことです。人類最初の罪であり、全人類がアダムの子孫であるため、生まれながら負っている罪とされています。「原罪」は、アダムとイブが神の命令に背いて、知恵の木の実を食べて...

√2はどこにいるの無理数をやっているとたどり着く疑問。非循環な無限桁少数の位置はどう特定しているの？と。有理数は一つづつ規則的に変化させられる上に視覚的なグラフとしてそれを再現できるので、数直線上の位置を感覚的にイメージできます。2は1の次...

無理数は有理数の間にぎっしりと詰まっているようです。ホントかよと。散歩中にその証明を閃きました。任意の有理数の間には無理数が必ず存在することを証明します。準備0<x<y⇒0<y-x=y+(-x)①①は加法律から導出できる加法の性質。乗法逆元...

ド・モルガンの法則自然演繹て、少しも"自然"じゃないよな、と。形式主義vs直観主義。これで本気で喧嘩できる情熱すごい。数学の哲学において、直観主義（ちょっかんしゅぎ、英: Intuitionism）とは、数学の基礎を数学者の直観におく立場の...