数学とか 無理数はどこにいるの？
√2はどこにいるの無理数をやっているとたどり着く疑問。非循環な無限桁少数の位置はどう特定しているの？と。有理数は一つづつ規則的に変化させられる上に視覚的なグラフとしてそれを再現できるので、数直線上の位置を感覚的にイメージできます。2は1の次...
数学とか
数学とか 数学とか 有理数の間には無理数がある
無理数は有理数の間にぎっしりと詰まっているようです。ホントかよと。散歩中にその証明を閃きました。任意の有理数の間には無理数が必ず存在することを証明します。準備0<x<y⇒0<y-x=y+(-x)①①は加法律から導出できる加法の性質。乗法逆元...
数学とか ド・モルガンの法則の自然演繹
ド・モルガンの法則自然演繹て、少しも"自然"じゃないよな、と。形式主義vs直観主義。これで本気で喧嘩できる情熱すごい。数学の哲学において、直観主義（ちょっかんしゅぎ、英: Intuitionism）とは、数学の基礎を数学者の直観におく立場の...
数学とか 乗法の自然数の閉性
任意の乗法を自然数へ送る集合が帰納的集合である証明。A={y∈ℕ,x∈ℝΙx・y∈ℕ}①yを1と仮定するとx･1∈ℕ(乗法単位元)単位元は任意の自然数を自然数へ送るので、Aは1を含みます。定義を満たすy=aを選びます。x ･a∈ℕ(①)また...
数学とか 自然数の加法の閉性
帰納的集合定義は単純です。帰納的集合の要請は、1を持ち、かつ1と任意の元の加法が閉じていること。具体的には実数、正の実数、非負の実数、0を含む自然数、0を含まない自然数、正の整数、正の有理数などですかね。自然数公理主義では帰納的集合の共通部...
数学とか 無理数は無限にある
有理数の間には常に無理数がある有理数+無理数=無理数①a<n⇒a/n>a/n+1>a/n+2...>0②ある無理数aを大きな有理数nで割るとその値は無理数であり、かつ0へ近づく任意のx<yにおいて、xに小さな無理数aを足すとその値は常に無理...
数学とか 無理数と有理数の性質
有理数×無理数=無理数有理数の加法と乗法の閉性より有理数×有理数=有理数有理数+有理数=有理数となります。有理数×無理数=有理数だと仮定します。無理数=有理数/有理数(乗法逆元)以上は有理数の演算が閉じている要請を満たしていません。矛盾しま...
数学とか 有理数は循環少数
有理数は循環小数見出しの証明。有理数（ゆうりすう、英: rational number）とは、整数の比（英: ratio）として表すことができる実数のことである。分母・分子ともに整数の分数（分母≠0）として表すことができる実数との説明もされ...
数学とか √2の無理性の証明
無理性の証明有理数はℤ/ℕで表される数。偶数は約分できるので、有理数は分母か分子のいずれかが奇数になります※1。例)2/4=1/2,3/6=1/2分母分子は互いに素x²=2となるようなxを求めます。そのような有理数があると仮定すると(p/q...
数学とか 有理数の大小関係
加法の大小関係デデキント切断の準備をします。感覚的には「任意の正数xに任意の正数y足した値はxより大きくなる」は自加法律を見れば自明です。ただ、年の為に確認します。0<1,x(仮定)0+x<1+x(加法律)x<1+x(単位元)0<1,x⇒x...
数学とか 乗法と乗法逆元の性質
積の大小関係乗法の大小関係の性質。既に導いたx<y⇒0<y-x=y+(-x)①の加法の性質を用います。0<x≤y≤z(仮定)0≤x(z-y)(乗法律と①)0≤xz-xy(分配法則)xy≤xz-xy+xy(加法律)xy≤xz(単位元)0≤x≤...
数学とか マイナス×プラス=マイナス
マイナス×プラス=マイナス0≤x,y⇒-x,-y≤0①と0x=0②との定理を用います。-1･-1=1の証明。-1+1=0(加法逆元)-1+-(-1)=0(加法逆元)-(-1)=1(加法一意性)①-1･a=-a(仮定)-a･-b(仮定2)-1...