複利運用

複利の計算式ががネイピア数であることが前提となります。

指数の法則　複利の計算式

複利計算実数 x の正整数 n 乗は、素朴には、n 個の x を掛け合わせたものである。厳密には、次のように再帰的に定められる。(∗)x¹:=x,(∗∗)xn+1:=xⁿ×x(n≥1).x0を定義する場合には、関係式 (∗∗) が n = ...

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2025.07.13

元本Pを年利rの複利でt年間運用した場合の元利の合計Sは
$S=P･e^{rt}$…#
となります。

元本1万円を5%で10年運用したら
16487.212707001281468486507878141635716537円。

証明

超高速高頻度複利運用を想定します。

複利運用の計算式は
$S=P(1+\frac{r}{n})^{nt}$…②
()内は預金の出し入れ回数nで年利を分割したもの。それのt年×n回倍が複利。

年利rをn分割なので
$\dfrac{r}{n}$
分数は比率なので、分子を1として、意味を変えずに変形でにます。
$\dfrac{r}{n}=\dfrac{1}{m}$(比率)
$\dfrac{n}{r}=m$((乗法逆元))
$n=rm$(乗法逆元)…③

②に③を代入。

$S=P(1+\frac{r}{mr})^{mrt}$(複利定義)
$P((1+\frac{1}{m})^{m})^{rt}$(指数法則)
$Pe^{rt}$(ネイピア数定義)

#が導出できました。

債権の割引現在価値の算定

債権の割引価値DCF法教科書のDCF法を使ってみる。$$P = \sum_{t=1}^{n} \frac{C}{(1+r)^t} + \frac{M}{(1+r)^n}$$（$P$:価格=現在価値、$C$:利息=クーポン、$M$:償還額、$...

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2026.03.01