直交座標系

転置行列が直交行列であるような空間、すなわち、転置行列と逆行列が一致する条件を考える。

直交行列と転置行列
直交行列

直交行列と転置行列

直交行列

$M$ ^$T$ $M$ = $M$ $M$ ^$T$ = $E$

ウィキペディア

逆行列

$\displaystyle AB=E=BA$

ウィキペディア

直交行列

基底ベクトル

基底ベクトル（basis vector）は、ベクトル空間（空間上のすべてのベクトル）を線形結合によって一意に表現するための、線形独立なベクトルの集合のことである。主に、空間内の座標系を構成する基本要素として機能し、その数（次元）は一定である。2次元空間では2つ、3次元では3つのベクトルが互いに平行でなく、かつ空間をすべて張る（カバーする）必要がある。

引用AI

上のウィキの定義を見た瞬間の疑問は、「なんで転置して行列積して単位行列なら直交やねん？？？」だと思います。

行列集合Mから任意に行列Aをとってきた場合は、それとその転置行列$A^{t}$の行列積は、
$A^{t}A=AA^{t}=e$
が成り立つなら、行列Aの任意の要素(※)は直交しますよ、という意味だと思われ。
※基底ベクトル

行列Aに格納される要素が基底ベクトルだと仮定するなら、定義よりその内積は
$B=A^{t}$
$⟨A,B⟩=\|A\|\|B\|COSΘ$
また、弧度法の定義より
$COS90°=COS\dfrac{π}{2}=0$

要素が常に直交(※)する行列Aから任意にi,j∈Aを選んだら当然に
i≠j⇒0,i=j⇒1
となる。
※基底ベクトル

また転置行列は行列jと列iを入れ替えること。

以上を頭の中で展開すると、それは対角線が全て1、それ以外が0の行列であることが分かる。
あれ？これ単位行列じゃね？

要するに、ウィキペディアの定義は、行列集合Mから、上で説明したような直交座標系(※)の性質を持つ、行列Aを取り出した場合、当然に
$AA^{t}=A^{t}A=e$
になるよね？
これはi=jではない任意の要素が直交するって意味だよね？だからこれが直交行列ね？
あ、逆行列と一致してるね。やった！
※正規直交基底と言うらしい

この説明を聞くと、上記のような直交座標系の行列と、そうではない、例えば歪んだ座標系や偏りのある斜行座標系なら、直交行列の定義は成り立たない、すなわち、空間の歪みを考慮するなら、直交行列の性質だけではそれは語れない、と言い換えられる。
そうする為には、直交行列と斜行行列などの歪み行列を橋渡しする写像が必要になるよねと。
ところで、重力は空間を歪ませるらしいしじゃん？これは何かワクワクするね。

妄想が止まらなくなりそうな話なので割愛。

証明
Aが、正規直交基底ベクトルで構成されるなら、内積と転置行列の定義より
$a_{ij}=a_{ji}⇒⟨a_{ij},a_{ji}⟩=\|A\|\|B\|1=1$
$a_{ij}≠a_{ji}⇒⟨a_{ij},a_{ji}⟩=\|A\|\|B\|0=0$
すなわち、行列Aとその転置行列の添字が一致する場合は1、それ以外は0※。

※添字の一致だけを考察するこの形式って、行列の計算から視覚的な形ってノイズを捨像してくれるんじゃね？

単位行列はその対角成分に 1 が並び、他は全て 0 となる。行列要素を ai, j とすると次のように書ける。

$\displaystyle a_{i,j}=\left\{{\begin{matrix}1&(i=j)\\0&(i\neq j)\end{matrix}}\right.$

ただし、1, 0 は係数環の単位元と零元である。

$\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}ウィキペディア