上の記事で勝手に使った「三平方の定理」を証明します。
膨大な種類の証明方法が発見されているようですが、僕が昨日から今日まで悩んで思いついた方法を共有します。
長さがa+bの正方形を考えます。
紆余曲折あってここから始まることになりました。図形をイメージして、かつ、導出した結論から逆算して、なるべく無駄を排除して単純化した前提を用意しています。
それまでの七転八倒の文脈がないと、正方形をa+bとして定義するのに抵抗が生まれると思います。正直、個人の美学としてはこの始まりは気持ちが悪い。何故か分からん。
閑話休題。
一辺がa+bの正方形の面積は
$(a+b)^{2}$…①
これの四隅に斜辺c、底辺b,高さaの三角形を収めます。
面積はそれぞれ$\frac{ab}{2}$。4つ収めたので4倍して$2ab$…②
a+bで構成される四角形①から4つの三角形を引いたら、必ず何かしらの図形が現れます。
以上の前提条件より、その図形の辺は必ず直線、かつ辺の数は4つ、かつ長さは全てcとなります。
つまり三角形を敷き詰めると残る図形は正方形。その面積は$c^{2}$
以上より一辺がa+bの正四角形の面積は
$(a+b)^{2}=c^{2}+2ab$…③
次に式を四角形の単純に展開。
$(a+b)^{2}(①)
$a^{2}+2ab+b^{2}=c^{2}+2ab$(展開法則と③)
$a^{2}+b^{2}=c^{2}$(加法逆元)
三平方の定理が導かれました。
冒頭述べたように、始まりが頭の中で図形を思い浮かべながらだったのが個人的には気持ちが悪い。何故かスカスカの証明に感じる。そうではないのに。
論理的な意味の連結だけで解きたい。抽象化が甘い気がする。所々に具体的な図形のイメージがいる感じするのが気持ち悪い。
生まれながらの盲目で「形」という概念を持たないとしても、意味の接続だけで理解できるようにやりたい。
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