参考書。
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集合の濃度
勝手に解釈すると
A〜B
は対応関係。一対一関係。
集合A,Bの濃度a,bの定義。
A〜B₁,B₁⊆B
という規則(関係)が当てはめられる何らかの対象A,Bは、「濃度」で説明できる。
上で定義した関係は
|A|≤|B|
と別の記号へ変換可能。
濃度の比較に対して、数のそれの方法を延長できないのは、すなわち1<2の比較の方法を濃度へ延長できないのは、「偶数」と「自然数」のような、要素を無限個持つ集合を比較する場合に、単純な一対一関係での説明ができないから。
偶数と自然数は動的な、すなわち、一つが現れると次が現れる、自己増殖の構造を持たされています。一対一対応関係が無限に増え続けるので、定義上は同じ濃度としか言えません。
しかしその一方で、偶数は定義上は自然数の真部分集合です。つまり、偶数⊂自然数。
偶数は自然数に完全に包含されながら、その大きさは自然数と全く同等です。仮にこれを現実として捉えるなら奇妙です。しかし、今考えているのは、言葉の世界です。そこではそうなる、と納得するしかありません。
偶数は自然数の”部分”集合として定義されながら、それの持つ性質故に濃度は自然数との相等関係にあります。
つまり、数の持つ定義の構造故に、1<2の大小関係の定義をそのまま延長すると、無限個の集合を扱う場合に不都合が起こります。
要素を無限個持つ集合の濃度を比較しようとすると、
|自然数|=|偶数|∧(|偶数|<|自然数|)
としか定義できない。
現実とは別の、言葉の世界の話をしている、と捉えないと混乱します。
「自然数と偶数は同じ大きさであり、同時に偶数は自然数より小さい」と言っているわけですから。
このように定義すると、必然的に無限個の要素を持つ集合の大きさにも差が生まれます。
自然数と実数では、後者の方が濃度は高い。
つまり
|ℕ=|ℤ|=|ℚ|<|ℝ|
定義上はこの大小関係が導けます。
自然数は「1の次は2、2の次は3」と1との単一の規則(関係)で説明されます。
しかし、実数は「1の次は2であり、1.1であり1.01であり1.001です。1.000…1」と無限通りの規則があります。濃度に差が現れるのはこんな理由かなと。
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