対偶の証明

対偶について。
対偶は
A→B⇔¬B→¬A

対偶の自然演繹

定義

【対偶】
命題「AならばB」の対偶は「BでないならばAでない」である。 論理記号として「ならば (
⇒\Rightarrow )」および否定 (
¬\neg ) を用いると、命題

$\displaystyle A\Rightarrow B$の対偶は
$\displaystyle \neg B\Rightarrow \neg A$ である。

なお、
$\displaystyle \neg B\Rightarrow \neg A$ の対偶は厳密には
$\displaystyle A\Rightarrow B$ ではなく、

$\displaystyle \neg \neg A\Rightarrow \neg \neg B$ である。

Wikipedia

証明

1.[¬B→¬A](仮定)
2.[¬B](仮定)
3.¬A(→除去)
4.[A](仮定)
5.⊥
6.¬¬B(背理法)
7.B(二重否定除去)
8.A→B(→導入)
9.(¬B→¬A)→(A→B)(→導入)

6行目は¬Bと仮定すると矛盾するので背理法によりB(¬¬B)が演繹されます。

証明2

同じようにA→Bから¬B→¬Aのの同値関係が証明できます。

1.[A→B](仮定)
2.[A](仮定)
3.B(→除去)
4.¬B(仮定)
5.⊥
6..¬A(背理法)
7.¬B→¬A(→導入)
8.(A→B)→(¬B→¬A)(→導入)

演繹の過程を言葉に直そうとすると混乱しますので注意が必要です。