有限の組
代数的数の濃度を明らかにする証明の戦略として思いついたものをダラダラを書きます。
まずは前提となる有理数の性質です。
任意の有理数$x,y$を選んだ場合、
$x<ny$(乗法とアルキメデスの性質)
を満たす自然数$n$が必ず存在します。
また、有限の多項式の解は有限の範囲に一意に定まります。
代数的数
複素数 α に対し、有理数を係数とする多項式
$\displaystyle f(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}$
代数的数と実数の定義より、代数的数を決定する多項式は、次数$n∈ℕ$とn+1個の有理数$a_{n}$の組により一意に定まりす。※1
要するに、代数的数は精々が有限列なのだから、その構成式※1は有理数の直積集合の部分集合でしょと。
$※1⊂ℚ✕ℚ✕…=ℚ^{n+1}$
例えば
$x^{2}+2x+1=0$
$=1･x^{2}+2･x^{1}+1･x^{0}$
は
$a_{2}=1,n_{2}=2,a_{1}=2,n_{1}=1,a_{0}=1,n_{0}=0$
という風に、有理数の組として、すなわち$ℚ^{n+1}$の部分集合として構成できるよね、って論理です。
また、前の記事で示したように、有理数の直積集合は加算無限であり、かつ代数的数を構成する各多項式の根の個数は高々n個です。
つまり、有理数の直積集合(加算無限)の部分集合である代数的数は加算無限、つまり、代数的数の濃度は$ℵ_{0}$。
※根の捕捉
$(x+2)(x+3)=0$
根は-2と-3の二つ。
$(x+1)^{10}$
の根は-1が10個。
多項式の根は高々n個。
大雑把な戦略の構築した後の厳密な証明って難しい。
参考書
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