正規化

この話はどこかでやった気がするけど探すのが面倒だから復讐もかねて。

ノルムが定義されたベクトル空間のベクトル v に対し、それにノルムの逆数 ‖ v ‖−1 を掛けてノルムが 1 であるベクトルにすることを、正規化という。

ウィキペディア

向き

向きは角度。
角度はsinΘとcosΘの比率。詳しくはラジアンについを見て。

$sinΘ:cosΘ=3:4$(仮定)
$\dfrac{sinΘ}{2}:\dfrac{cosΘ}{2}=\dfrac{3}{2}:2$
任意の実数で除した場合、両者の比率は変化しない。

また、任意のベクトルは、向きだけを規定(※)する基底ベクトルと、大きさを表すスカラーkで表せれる。
※ダジャレ
$k\boldsymbol{x}$(仮定)
$k\boldsymbol{x}÷k$(除法)
$\boldsymbol{x}$
ベクトルの大きさを構成するスカラーkで除すと向きだけが取り出せる。

ベクトルの大きさkだけを取り出せるのがノルム。

すなわち、ベクトルをそのノルムで除したなら、向き(基底ベクトル)だけが取り出せる。

よって向きxの基底eは
$e:\boldsymbol{e}v\dfrac{\boldsymbol{x}}{\|\boldsymbol{x}\|}$

外積の正規化

外積においてもベクトルの向きは
$\dfrac{x×y}{\|x×y\|}$
で正規化できる。

また、外積のノルムはこの記事で証明した通り
$\|x×y\|=\|x\|\|y\|sinΘ$
よって$
e=\dfrac{x×y}{\|x\|\|y\|sinΘ}$