総和はこれ。シグマ。
定数倍の括り出し
定数 $k$ がかかっている場合、シグマの外に出せる。
証明
$ca_{1}+ca_{2}…la_{n}$
実数の公理より二つ加法に結合法則が成り立つ。よって
$\sum_{k=1}^{n}(((ca_{1}+ca_{2})+ca_{3})…ca_{n})$
が構成できる。
$\sum_{k=1}^{n}((c(a_{1}+a_{2})+ca_{3})…ca_{n})$
左端から結合法則→分配法則を適用すれば、数学的帰納法により無限回の証明を省ける。
すなわち
$$\sum_{k=1}^{n} c a_k = c \sum_{k=1}^{n} a_k$$
和・差の分解と合成
項が和や差の形をしている場合、実数の結合法則より、総和記号のΣの分配法則が成り立つ。
$\sum_{i=1}^{n}(a_{1}+a_{2}…)+(b_{1}+b_{2}…)$(交換法則)
$\sum_{i=1}^{n}a_{1}+a_{2}+…a_{n}+\sum_{i=1}^{n} b_{1}+b_{2}+…b_{n}$(総和)
自然数の和
有名な公式の導出。
天才オイラーが授業中に暗算でこれを導出して先生を驚愕させたとか言われてるやつ。
$\sum_{i=1}^{n} i = \frac{1}{2}n(n+1)$
の導出。
1からnまの加法を考えた場合、自然数の定義より、例えば
1-100,2-99
と対応させれば、n+1すなわち100+1がn×$\dfrac{1}{2}$個作れるから
$\sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{2}n(n+1)$
証明
下の整列の和を考える。
$1+n=(1+1)+(n-1)$(加法逆元)
nを無限に大きくしてもこの構図は変わらない。
$1+2+3…n-2+n-1+n$
対にする
$(1+n)+(2+n-1)+(3+n-2)$(交換法則)
$(n+1)+(n+1)+(n+1)…$(加法逆元)
n+1が$\dfrac{n}{2}$個あるから。
$S= \dfrac{n}{2}(n+1)$
先生が天才少年ガウスを困らせようとして算数の問題を出したら、上の展開を暗算。
論理的な構成を明らかにすれば暗算の必要はないから、暗算が凄いってよりは、「このやり方だ」って閃く論理的な直観が凄い。。
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