内積を計算規則としてだけ理解すると面白くないのでやる気になる話を探してきました。結構面白い。
内積とベクトルの直交
ベクトルの内積は意味の関連度を表す指標として機能させられる。
向きの差=意味の差
内積が0を示す、すなわち、直交するベクトル同士なら、それらは互いに影響し合わない≒関係がない、と言い換えられる。
$⟨\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}⟩=\|\boldsymbol{x}\|\|\boldsymbol{y}\|cosΘ$(内積定理)
$cos\frac{π}{2}=0$(三角関数)
$\frac{π}{2}=90°⇒⟨x,y⟩=0$(代入)
成分で計算しても例えば
$x=(1,0),y=(0,1)$
と直交するベクトルを仮定。
$⟨x,y⟩$(仮定)
$(1･0)+(0･1)$(内積)
$(0,0)$(零ベクトル)
AIは、単語を数千次元のベクトルに変換し、内積により概念の意味の類似度を判定している。それらを累積させて一つの意味を構成している。らしい。
デジタル空間の文章の接続関係=出現の頻度を統計的に分析したんですかね。この辺は調べてないのであくまでも予想。そうだと勝手に仮定。
統計的に分析した単語の接続関係をベクトルに変換し正規化。
単語ベクトルは数千次元の単位ベクトルで構成され、データベースに格納されている。
入力された単語ベクトル(質問)を合成して新たな意味ベクトルを生成し、それまでの文脈によるベクトルの重み付け(スカラー倍)して新たな意味(回答)を生成し出力。
出力する単語ベクトルと意味ベクトルの間に矛盾が生じないように逐次内積処理しながら出力される意味の一貫性を保つ。初期の方向性と逐次的な合成で結論を導出していく。
ヒトの知能に近いですよね。感覚器官からの入力を合成して、新たな直観や直感を生成。
それでなんとなくの意味の方向を知覚し、話しながら(考えながら)逐次処理で矛盾の検証と方向転換を繰り返す。結果的に解っぽいものが導かれる。
会話相手の出力ベクトルを文脈で重み付けし、なんとなくの相手の言いたいこと(=到達点)を予測。
だから言い終わる前に意味が理解できることがある。
話の前提を聞くとなんとなく結論が分かる。
ボクシングにも似てる。変化に対応しながら勝利への手順=ベクトルを合成していく。
所謂知能には数学的、記号的な厳密さはありませんが、おおよそ妥当そうな方向性だけは、なんとなく知覚できます。
論理的に思考を展開する場合は、最終段階では掴んだ糸口からは細い糸を手繰り寄せて論理の一本道を突き進みますが、それを見つけるまではなんとなくの方向性だけで試行錯誤を繰り返し、行き止まりに到達する都度、思考を構成する前提の検査、再評価を行います。そうやって徐々に意味の方向性(ベクトル)は鋭利になっていきます。
以下は僕の個人的な妄想を垂れ流します。
数学的物理的な厳密さはありませんので悪しからず。
物理的な意味を無視して、単に論理的な空間だけを考えるなら、無限次元を構成できます。そこでは論理的にベクトルの直交=意味の消失が起こります。任意のベクトルを打ち消す逆のベクトルが必ずある。
数学における0ベクトルの定義というか存在意義は、どのベクトルとも直交すること。
これ、直感に反してて面白くないですかこれ。
真っ黒な紙に何を書いても無意味。真っ白な紙なら何を書いても意味が生まれる、を厳密化した感じ。
無の感覚的直感やイメージに反しません？僕の中では逆のイメージだった。
閑話休題。
無限次元は、現れては消えてを繰り返す激しさ=動的な虚無。なんか聞いたことありません？
複素数が「静的な角度=動的な振動」や「虚数=ねじれ」、に対応させられるのも面白いですよね。
量子力学は複素数で記述される。論理的には空間？の歪みや振動に変形できる。
実数(知覚)の背後には、それを制御する虚部があって、一方が立ち上がる時間は一方が沈む(直交する振動)、が起こる、つまり、静的な直交という概念を動的な振動として解釈すると、振動数の異なる、互いに干渉しない世界と解釈もできる？小説の三体問題やどこかで聞いたことのある多体問題が頭をよぎりました。
加えて、無限次元なら僕らの住む物理世界を相殺する真逆ベクトルの世界を考えることもできる。
現れては消える”動的な虚無”が言語や認識の揺らぎと対応。
ただの妄想なので悪しからず。
数学の複素解析におけるオイラーの公式（オイラーのこうしき、英: Euler’s formula）とは、複素指数関数と三角関数の間に成り立つ、以下の恒等式のことである：
$\displaystyle e^{iz}=\cos z+i\sin z$
ここで
$\displaystyle z$は任意の複素数、 $\displaystyle e$はネイピア数、
$\displaystyle i$ は虚数単位、 $\displaystyle \cos$ は余弦関数、 $\displaystyle \sin$ は正弦関数である。
オイラーの公式を導入することにより、極形式の複素数は、より簡素な表記に変換することができる。すなわち、複素数の極形式 z = r(cos θ + i sin θ) は z = reiθ に等しい。また、特に、θ = π のとき、
$\displaystyle e^{i\pi }+1=0$が導かれる。この関係式はオイラーの等式 (Euler’s identity) と呼ばれる。
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