直角三角形の比

正三角形を考える…①。
①より、各辺の長さはそれぞれa。

任意の角から垂線を下ろす。
60°,30(=60÷2)°,90(垂線定義)°の直角三角形が二つ作られる。

ピタゴラスの定理より
$a^{2}=(\frac{a}{2})^{2}+b^{2}$(前提)
$(2a)^{2}=(a)^{2}+2^{2}･b^{2}$(代入原理)
$4a^{2}-a^{2}=2^{2}･b^{2}$(加法逆元)
$3a^{2}=(2b)^{2}$(加法逆元と指数法則)
a=1,b=2b(仮定)
$3^{2}=b^{2}$
$\sqrt{3}=b$(平方根)

以上より
斜辺:底辺:隣辺
$2:1:\sqrt{3}$
$1:\frac{1}{2}:\frac{\sqrt{3}}{2}$
直角三角形30°,60°,90°の辺の比。

次は直角二等辺三角形。
定義より一辺は直角だから、残りの二角の合計は90°。二等辺三角形だからそれぞれ45°,45°

長さが等しい二辺を1と仮定。
三平方の定理より
$1²+1²=x²$
$2=x²$
$x=\sqrt{2}$(平方根)

比に直して
$1:1:\sqrt{2}$
$\sqrt{2}:\sqrt{2}:2$
$\frac{\sqrt{2}}{2}:=\frac{\sqrt{2}}{2}:1$

代表的な直角三角形の比は求まりました。

弧度法⇆度数法

角度の指標の変換法則を考える。

度数法→弧度法
$180°=πrad$(定義)
$1°=\frac{π}{180}rad$(乗法逆元)

弧度法→度数法
$180°=πrad$(定義)
$π⁻¹･180°=π･π⁻¹rad$(乗法法則)
$1rad=\frac{180°}{π}$(乗法逆元)

例)
$\frac{π}{4}rad$(前提)
$1･\frac{π}{4}=\frac{180°}{π}･\frac{π}{4}$(乗法法則)
$\frac{π}{4}=45°$(乗法逆元)

$90°$(前提)
$1･90°=\frac{π}{180}･90$(乗法法則)
$90°=\frac{π}{2}$(乗法逆元)