√3の正則連分数展開

$\sqrt{3}=1+\sqrt{3}$-1(仮定)
$=1+\dfrac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}-1}}$(指数法則)
$=1+\dfrac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}-1}}･1$(乗法単位元)
$=1+\dfrac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}-1}}･(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)⁻¹$(乗法逆元)
$=1+\dfrac{1}{\frac{1･(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)･(\sqrt{3}-1)}}$(乗法交換法則)
$=1+\dfrac{1}{\frac{1･(\sqrt{3}+1)}{3-1}}$(展開法則)
$=1+\dfrac{1}{\frac{1･(\sqrt{3}+1)}{2}}$(自然数加法)
$=1+\frac{2}{\sqrt{3}+1}$(指数法則)
$\sqrt{3}→1+\frac{2}{\sqrt{3}+1}$(→導入)

よって
$\sqrt{3}=1+\frac{2}{\sqrt{3}+1}$
$\sqrt{3}-1=\frac{2}{\sqrt{3}+1}$…①

√3の正則連分数展開
$\sqrt{3}=1+\frac{2}{\sqrt{3}+1}$(仮定)
$1+\dfrac{1}{\frac{\sqrt{3}+1}{2}}$(指数法則)
$1+\dfrac{1}{\frac{2+\sqrt{3}-1}{2}}$(自然数加法)
$1+\dfrac{1}{\frac{2+\sqrt{3}-1}{2}･1}$(乗法逆元)
$1+\dfrac{1}{\frac{2}{2}+\frac{\sqrt{3}-1}{2}･1}$(分数加法)
$1+\dfrac{1}{\frac{2}{2}+\frac{\sqrt{3}-1}{2}･(\sqrt{3}+1)･(\sqrt{3}+1)^{-1}}$(乗法逆元)
$1+\dfrac{1}{1+\frac{\sqrt{3}-1}{2}･(\sqrt{3}+1)･(\sqrt{3}+1)^{-1}}$(乗法逆元)
$1+\dfrac{1}{1+\frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+1)}{2(\sqrt{3}+1)}}$(乗法交換法則)
$1+\dfrac{1}{1+\frac{2}{2(\sqrt{3}+1)}}$(展開法則と自然数加法)
$1+\dfrac{1}{1+\frac{1}{\sqrt{3}+1}}$(乗法逆元)
$1+\dfrac{1}{1+\frac{1}{2+\sqrt{3}-1}}$(乗法逆元と自然数加法)
$1+\dfrac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{2}{\sqrt{3}+1}}}$(①)
$1+\dfrac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{2}{2+\sqrt{3}-1}}}$(①)

最小の数が最初の形に変形できたので、以降は同じ形が規則的に現れます。

従って、以上の形は
1→1→2→1→2→1…
と無限に繰り返されます。

これが非循環小数である無理数に現れる規則性のことですね。小数を連分数で表現すると分数とは異なる側面が現れる。

対象を見る視点を変える

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riku-nagahama.xyz

2025.01.11

連分数で表現すれば規則性が見いだせる無理数と、そうではない無理数に分類し、その差を考えてみたくなりました。

ただ、この連分数展開は面倒くさい。さっと終わらせられる方法はないのだろうか。

あれば誰も困ってねーよって話なんですが。