√2の連分数展開

まずは連分数で表せる形に√2を変形します

準備1
$\sqrt{2}$(仮定)
$1-1+\sqrt{2}$(加法逆元)
$1+\sqrt{2}-1$(加法交換法則)
$1+\dfrac{1}{\frac{1}{{\sqrt{2}-1}}}$(指数法則)
$1+\dfrac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}-1}･1}$(乗法単位元)
$1+\dfrac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}-1}(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+1)⁻¹}$(乗法逆元)
$1+\dfrac{1}{\frac{1･(\sqrt{2}+1)}{({\sqrt{2}-1})(\sqrt{2}+1)}}$(乗法交換法則)
$1+\dfrac{1}{\frac{1･(\sqrt{2}+1)}{(2-1)}}$(展開法則)
$1+\dfrac{1}{\frac{\sqrt{2}+1}{1}}$(乗法単位元と自然数加法)
$1+\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}$(指数法則)

よって
$\sqrt{2}=1+\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}$※1
$\sqrt{2}-1=\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}$…①

また
$\sqrt{2}+1=2+\sqrt{2}-1$…②

以上を用いて√2を近似します。
$\sqrt{2}=1+\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}$(※1)
$\sqrt{2}=1+\dfrac{1}{2+\sqrt{2}-1}$(②)
$1+\dfrac{1}{2+\frac{1}{\sqrt{2}+1}}$(①)
$1+\dfrac{1}{2+\frac{1}{2+\sqrt{2}-1}}$(②)
$1+\dfrac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{\sqrt{2}+1}}}$(①)
$1+\dfrac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\sqrt{2}-1}}}$(②)
$1+\dfrac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{\sqrt{2}+1}}}}$(①)
$1+\dfrac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\sqrt{2}-1}}}}$(②)

これは無限に繰り返せます。

連分数を小数へ変形

$1+\dfrac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\sqrt{2}-1}}}}$
この式は再帰的に変形できるので、ひとまずはここで展開を終わり、小数へ変形します。

$1+\dfrac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}}}}$(仮定)
=$1+\dfrac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{\frac{4}{2}+\frac{1}{2}}}}}$(乗法逆元)
$1+\dfrac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{\frac{5}{2}}}}}$(分数加法)
=$1+\dfrac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{2}{5}}}}$(指数法則)
=$1+\dfrac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{\frac{10}{5}+\frac{2}{5}}}}$(乗法逆元)
=$1+\dfrac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{\frac{12}{5}}}}$(分数加法)
=$1+\dfrac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{5}{12}}}$(指数法則)
=$1+\dfrac{1}{2+\frac{1}{\frac{24}{12}+\frac{5}{12}}}$(乗法逆元)
=$1+\dfrac{1}{2+\frac{1}{\frac{29}{12}}}$(分数加法)
=$1+\dfrac{1}{2+\frac{12}{29}}$(指数法則)
=$1+\dfrac{1}{\frac{58}{29}+\frac{12}{29}}$(乗法逆元)
=$1+\dfrac{1}{\frac{70}{29}}$(分数加法)
=$1+\dfrac{29}{70}$(指数法則)

29÷70=0.4142857142857
√2≒1.4142857142857