真部分集合の定義

A⊂B⇒A=B

これを自然演繹風に反証しようとした場合、真部分集合がないと不便だなと。

真部分集合
集合 A が集合 B の真部分集合であるとは、A ⊆ B かつ A ≠ B が成り立つことである。

Wikipedia

とりあえずこの定義を用います。

真部分集合は、
A⊆B⇒A⊂B∧B≠A

A⊂B∧B≠A(前提)
A→B∧¬((A→B)∧B→A))(同値変形)
A→B∧¬(A→B)∨¬(B→A)(ド・モルガンの法則)
⊥∨¬(B→A)()
¬(B→A)(べき等律)
¬(B⊂A)
A⊂B∧B≠A→¬(B⊂A)

違和感はありません。

真部分集合はこんな文脈から要求されたのかなと。

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