正しい議論の形式

股関節おじさんの勉強部屋

2024.05.16

前件肯定、前件否定、後件肯定、後件否定の自然演繹っどんな感じなのかなあと我流で考えてみました。

[table id=implication /]

前件肯定
前件否定
後件否定
後件肯定

前件肯定

((A→B)∧A)→B(前提)
¬((¬A∨B)∧A)∨B(→言い換え)
¬(¬A∨B)∨¬A∨B(ド・モルガンの法則)
¬(¬A∨B)∨(¬A∨B)(∨結合法則)
T(排中律)

同値変形により以下が証明できました。
((A→B)∧A→B)⇔T

「前件が真なら後件も真」という推論は妥当。

前件否定

((A→B)∧¬A)→¬B(前提)
¬((¬A∨B)∧¬A)∨¬B(→言い換え)
¬((¬A∧A)∨(B∧¬A))∨¬B(∧分配法則)
¬(⊥∨(B∧¬A))∨¬B(無矛盾律)
¬(B∧¬A)∨¬B(べき等律)
¬(B∨¬B)∧(¬A∨¬B)(∧分配法則)
¬T∧(¬A∨¬B)(排中律)
⊥∧(¬A∨¬B)(¬除去)
⊥(∧べき等律)

同値変形により
((A→B)∧¬A)→¬B⇔⊥
が証明されました。
「前件が偽なら後件も偽」という結論は妥当ではない。

後件否定

((A→B)∧¬B)→¬A(前提)
¬((¬A∨B)∧¬B)∨¬A(→言い換え)
¬((¬A∧¬B)∨(B∧¬B)∨¬A(∧分配法則)
¬((¬A∧¬B)∨⊥)∨¬A(無矛盾律)
¬(¬A∧¬B)∨¬A(∨べき等律)
¬¬A∨¬¬B∨¬A(ド・モルガンの法則)
A∨B∨¬A(二重否定除去)
A∨¬A∨B(∨交換法則)
T∨B(排中律)
T(∨べき等律)

((A→B)∧¬B)→¬A⇔T
「後件が偽なら前件も偽」という推論は妥当。