同値関係と代入法則

股関節おじさんの勉強部屋

我流の同値関係を元に法則性を見つけます。
人の認識として

a=b⇒a*c=b*c

“*”は広い意味での演算を表しています。

どう解決しようかと考えたら、やっぱり同値関係の法則として定義すべきなのかなと。

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代入法則

加法

まずは加法の代入法則から。こんな感じの法則性を導きたい。a=b⇒a+c=b+c

c=0の場合

a+0=b+0(前提)
a=b(加法定義)

次に数学的帰納法による連鎖反応を起こすために下を証明します。a=b∧a+c=b+c⇒a+s(c)=b+s(c)

a+s(c)(前提)
s(a+c)(加法定義)
s(b+c)(推移律、仮定)
b+s(c)(加法定義)

a+0=b+0が成立することは証明済なので数学的帰納法の連鎖反応により証明が完了しました。

加法において任意の自然数との代入法則が成立します。cに何を入れても関係は変わりません。

次に乗法の代入法則。

乗法

c=0の場合
a×0=b×0=0(乗法定義)

ドミノの最初が立ちました。
次に連鎖反応の構造を用意します。

a=b∧a×c=b×c⇒a×s(c)=b×(c)

a×s(c)(前提)
(a×c)+a(乗法定義)
(b×c)+b(仮定、推移律)
b×s(c)(乗法定義)

自然数の乗法の代入法則が証明されました。

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Die Hard – ダイ・ハード
この記事を書いた人

第41第東洋太平洋(OPBF)ウェルター級王者
元WBC世界同級34位
元WBO-AP同級3位
元角海老宝石ジム所属

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