乗法の分配法則その2

暇つぶしに見て

2024.01.14

下の記事の続き。

x(y+z)⇔xy+xy
は証明できたので
(y+z)x⇔yx+zx
を証明します。

(x+y)×z=xz+yz

数学的帰納法の起点を作ります。

z=0の場合

(x+y)×0(前提)
0(乗法定義)

x×0+y×0(前提)
0+0(乗法定義)
0(加法丁儀)

z=1の場合

(x+y)×1(前提)
x+y(乗法定義)

x×1+y×1(前提)
x+y(乗法定義)

1の場合も0の場合も分配法則が成り立つことが証明できました。

次は数学的帰納法の連鎖反応を作ります。

(x+y)×z=xy+yz⇔(x+y)×s(z)=xs(z)+ys(z)

(x+y)×s(z)(前提)
(x+y)×z+(x+y)(乗法定義)
xz+yz+x+y(数学的帰納法仮定)

xs(z)+ys(z)(前提)
xz+x+yz+y(乗法定義)
xz+yz+x+y(加法交換法則)

前件の

(x+y)×z=xy+yz

が成立するなら後件の

(x+y)×s(z)=xs(z)+ys(z)

が成立します。

また、z=0の場合、1の場合のいずれも交換法則が成立することは既に証明しています。
ドミノ倒しが作れました。数学的帰納法が成立します。