全称命題と存在命題の関係

wikiにこうあります。

全称命題は、存在命題の否定と論理的に等値である。

Wikipedia

これを確かめたい。

証明

wikiの文章だけだと意味が捉えにくいので、僕なりの解釈で翻訳してみると恐らくは
「命題Pを満たす要素だけからなる集合は存在しない=集合の要素全てが命題Pを満たすわけではない」
と
「命題Pを満たさないxを持つ集合が存在する=集合の要素全てが命題Pを満たすわけではない」

こんな解釈かと。論理式はこう。

∃x¬P(x)→¬∀x(P(x))⇔¬(∀xP(x)))→∃x¬P(x)

[∃x¬P(x)](前提)
[∀xP(x)](前提)
¬P(a)(∃除去)
P(a)(∀除去)
¬P(a)∧P(a)(∧導入)
⊥(¬除去)
¬(∀xP(x))(¬導入)
∃x¬P(x)→¬(∀xP(x))(→導入)

「全てのxが命題Pを満たす」、と「命題Pを満たさないようなxが存在する」は両立させると矛盾します。

¬(∀xP(x))(前提)
∃xP(x)(前提)
P(a)(∃除去)
¬(P(a))(∀除去)
P(a)∧¬P(a)(∧導入)
⊥(¬導入)
¬P(a)(背理法)
∃x¬P(x)(∃導入)
¬(∀xP(x))→∃x¬P(x)(→導入)

「全てのxがPではない」、と「Pであるxが存在する」は両立しません。辻褄を合わせると¬(∀xP(x))→∃x¬P(x)この同値関係が得られます。

毎度のことながら我流なので正しさは保証されません。