双対という概念に遭遇しました。
これについて考えていきます。
双対とド・モルガンの法則
定義
【双対】
Wikipedia
命題を論理式として表したとき、論理和 ∨ と論理積 ∧ とをすべて入れ替え、全称記号 ∀ と存在記号 ∃ とをすべて入れ替えたものをもとの論理式の双対といい、入れ替えて得られた命題をもとの命題の双対命題と呼ぶ。双対の双対はもとの命題に一致する。
元の論理式が証明可能ならばその双対の否定が証明可能であり、ある論理式の否定が証明可能ならば、その論理式の双対が証明可能になる。
全称記号などは述語論理の概念なので飛ばします。
命題論理の演算⇔,→,∨,∧,¬,⊕(排他的論理和)は、例えば⇔(同値)であれば
A⇔B⇔(A→B)∧(B→A)
→(含意)であれば
A→B⇔¬A∨B
という風に言い換えられ、実質的な論理演算は∨,∧,¬だけだと言えます。
この最小の演算である∨を∧に∧を∨に置き換え、命題変数、定数を反転たものを双対と呼び、またある命題Aの双対と¬Aはそれぞれ関連があるということです。
定義としてはなんとなく理解できましたが、どんな文脈から双対という概念が生まれたのかが気になります。
ネットでは答えが探せませんでした。
途中で「もしかしてド・モルガンの法則が関係しているのでは？」という気がしてきました。
ド・モルガンの法則
定義はこうなっています。
¬(A∨B)⇔¬A∧¬B
¬(A∧B)⇔¬A∨¬B
先程の¬,∨,∧の演算が全て登場します。
また、∧と∨が置き換わる関係が¬で説明されています。
∨と∧が¬を通して繋がっています。
それぞれを独立したものとみなすのではなく、互いに補完し合っていると解釈すると∨と∧の認識が変わりますから、それが嬉しいのかなと。
無関係に見えた世界同士が数式上で繋げられて、それに別の視点を与えることでまた世界の見え方が変わったり、煩雑な証明手続きを一掃したりってことがあるので、双対はそんな利便性に繋がっているのかなと。
以下はネットで見つけた、掴み所のない双対の別の表現です。なんとなく分かるような分からないような。
【双対】
引用
二点を通る直線はただ一つ存在する」とともに「二直線を通る（二直線に含まれる）点はただ一つ存在する
平面上の射影幾何では，ある命題が成り立てば，その命題にある用語の「点」と「直線」 を入れ替えた命題もつねに成り立つ。 このような命題を互いに双対的な命題という。
同じことを別の視点から語るってことで一旦は終わります。
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