対偶の証明

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対偶について。
対偶は
A→B⇔¬B→¬A

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対偶の自然演繹

定義

【対偶】
命題「AならばB」の対偶は「BでないならばAでない」である。 論理記号として「ならば (
⇒\Rightarrow )」および否定 (
¬\neg ) を用いると、命題

$\displaystyle A\Rightarrow B$の対偶は
$\displaystyle \neg B\Rightarrow \neg A$ である。

なお、
$\displaystyle \neg B\Rightarrow \neg A$ の対偶は厳密には
$\displaystyle A\Rightarrow B$ ではなく、

$\displaystyle \neg \neg A\Rightarrow \neg \neg B$ である。

Wikipedia

証明

1.[¬B→¬A](仮定)
2.[¬B](仮定)
3.¬A(→除去)
4.[A](仮定)
5.⊥
6.¬¬B(背理法)
7.B(二重否定除去)
8.A→B(→導入)
9.(¬B→¬A)→(A→B)(→導入)

6行目は¬Bと仮定すると矛盾するので背理法によりB(¬¬B)が演繹されます。

証明2

同じようにA→Bから¬B→¬Aのの同値関係が証明できます。

1.[A→B](仮定)
2.[A](仮定)
3.B(→除去)
4.¬B(仮定)
5.⊥
6..¬A(背理法)
7.¬B→¬A(→導入)
8.(A→B)→(¬B→¬A)(→導入)

演繹の過程を言葉に直そうとすると混乱しますので注意が必要です。

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Die Hard – ダイ・ハード
この記事を書いた人

第41第東洋太平洋(OPBF)ウェルター級王者
元WBC世界同級34位
元WBO-AP同級3位
元角海老宝石ジム所属

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コメント

  1. [1]の存在量化(∃) より:

    ≪…命題「AならばB」の対偶は「BでないならばAでない」である。…≫は、数の言葉ヒフミヨ(1234)が、1・2・3・4次元で閉じて(計算できて)いるのを、[1]と[π]の対等(相対)で眺めたい・・・
     円すい体 球体 円塔体 の 容積比 の 1:2:3 に [気付き]として、自然数の始原を想う・・・

     国語とは量化となし数等価 (「私の情念」) 

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