論理包含と必要条件と十分条件と同値

股関節おじさんの勉強部屋
股関節おじさんの勉強部屋

論理包含の演算規則はは認識を一般化したものだと仮定して、もう少し論理包含について認識の側面から考えます。

論理包含の定義から同値という概念を演繹出来ます。僕がずっと抱いている「なぜ同値の定義の形はそうなっているのか」という疑問の答えへ繋がっていました。

スポンサーリンク

論理包含から同値

まずは必要条件、十分条件、必要十分条件について。

必要条件や十分条件という言葉は日常で使われると思いますが。使われるとめっちゃ混乱しますよね。「えっと…どれがどれだたけ…」って。

恒真式

必要条件、十分条件を知る前に恒真式の定義を知る必要があります。

【トートロジー(恒真式)】

$P\to P$「前件と後件が真」か「前件が偽」の時に真となる、つまり同語反復の場合はPの真理値の如何に関わらず含意は常に真となります。

Wikipedia

恒真式は恒(つね)に真となる論理演算のことです。
人の認識の延長線上で説明するなら、「如何なる解釈においても変化しない認識」のことだろうと思います。
「私は私だ」とか「失敗するか成功するかのいずれかだ」とか。

論理式にすると
a→a
「aならばa」
aの真偽は問わず上記の含意の演算結果は真となります。
a∨¬a
「aかaではない」
論理和と否定を使った演算。論理和はいずれかが真ならば真となるので、aの真偽を問わず恒に真となる演算です。

必要条件と十分条件の定義

二つの条件 p 、q に対して、「 p を満たすものは全て q も満たす 」 というとき、「 p は q である為の十分条件である 」 あるいは 「 q は p である為の必要条件である 」 という。

また、「 p は q である為の十分条件であり、q は p である為の十分条件である 」 というとき、「 p は q である為の必要十分条件である 」 あるいは 「 p と q とは同値である 」 という。

Wikipedia

含意の結果が恒に真となる恒真式である場合のみ
p→q
前件pは後件qの十分条件
後件qは前件pの必要条件
となります。

具体例で考えると。
$x=2 \to x^2=4$
は恒真式です。
すなわち、$x=2$は$x^2=4$は十分条件、$x^2=4$は$x=2$の必要条件となります。

また「等しい(同値)」とは論理的な必要十分条件のことだと定義されています。

pがqの十分条件を満たし、qがpの十分条件を満たす場合を同値と定義するわけです。

同値類の定義の文脈が浮かび上がってきました。 

【同値類の記法と定義】

同値関係は二項関係 ∼ であって以下の3つの性質を満たすものである[4]:

X の任意の元 a に対して,a ∼ a である(反射性),
X の任意の2元 a, b に対して,a ∼ b ならば b ∼ a である(対称性),
X の任意の3つの元 a, b, c に対して,a ∼ b かつ b ∼ c ならば a ∼ c である(推移性)

Wikipedia
長濱陸Tシャツ

お求めはこちらから

お問い合わせはこちら

パーソナルトレーニングやグループトレーニング、セミナーや取材、YouTubeコラボなどのご依頼はこちらからよろしくお願いします。

トレーニングの依頼などはこちらから

スポンサーリンク
Die Hard – ダイ・ハード
この記事を書いた人

第41第東洋太平洋(OPBF)ウェルター級王者
元WBC世界同級34位
元WBO-AP同級3位
元角海老宝石ジム所属

股関節おじさんをフォローする
スポンサーリンク
スポンサーリンク
股関節おじさんをフォローする
長濱陸のブログ

コメント

タイトルとURLをコピーしました