存在と関係

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股関節おじさんの勉強部屋

僕の中で解決していない問題。
「等しい」について。

等号がスタートです。
以下僕の頭の中を書き出して整理します。

等号って何だろうな。
Wikipediaぽち。

【等号】
等号の左右が等価であることを表し、等号で結ばれた数式を「等式」と呼ぶ。

Wikipedia

なるほど、等号とは「=」を挟んだ両辺が等価であるということなんだな。
じゃあ、等価とはなんだ。

【等価】
与えられた2つ項がある同値関係を満たすこと。同値類および同値関係を参照。

Wikipedia

なるほど、等価とは「=」で挟んだ左右の辺が同値関係を満たすことなんだな。
それでは同値関係とはなんだ。

同値関係(どうちかんけい、equivalence relation)とは二項関係であって反射的対称的推移的の3つの性質を満たすものをいう。

Wikipedia

なるほど、同値関係とは反射律、対称律、推移律を満たすことなんだな。
なら、「等号」の定義を確認して同値関係を満たすのか調べてみよう。

【等号】
等号の左右が等価であることを表し、等号で結ばれた数式を「等式」と呼ぶ。

Wikipedia

等号とは等価であるってことなんだな。
じゃあ、等価とはなんだ?以下無限ループ

ちなみに「等式」の定義

【等式】
二つの対象の等価性・相等関係を表す数式のことである。

Wikipedia

【相等】
x = y は x と y が等しいことを表す。

Wikipedia

この堂々巡りに終止符を打つべくネットを徘徊しているのですが、思うような答えには行き着きません。
自分で考えるしかないと思ってWikipediaの公理を見てみると。
下のように書いてあります。
もしかしてこれが答えなのかな、と

何となく言いたいことは分かります。

【公理】
a=b なら、a+c = b+cである

Wikipedia

$a$と$b$の間の「等しい」関係を見出すとは、$a+c$と$b+c$の二つの結果の間にある関係を見出すことであると。
印象ではなく論理によって「=(等しい)」を定義する唯一の方法なのだと現時点では納得させています。

確かに無理やり知恵を絞りだして考えてみると「等しい」という概念は自然数の定義のように気持ち良くバーンと定義できないもので「a=b なら、a+c = b+cである」のような、間に何かを挟んだような定義しかできないよな気もするのです。
それは「存在」として定義するからではなく、「関係」として定義するからだと感じます。

僕が「等しい」の定義に混乱してしまうのは自然数といった一種の「存在」を定義する議論と存在と存在の間に現れる「関係」を定義する議論を混同しているからなのかもしれません。
存在はそれ単独で生じさせることができますが、関係は存在と存在の間に生ずるものだから、一方の存在が消えてしまえば「関係」も同時に消えてしまいます。当然「関係」の定義に求められる手順も違うのだろうと。

例えば記号としての$2$はそれ単独で存在させることはできます、しかしそれでは意味を成しません。
$S(1) = 2$という風に$1$との関係内包させることによって、$2$はその意味を帯びてきます。
存在と関係は性質が違うものなのかもしれません。

こう考えると「関係」は仏教の「縁起」の概念に似ている気がします。
最近仏教にハマっています。

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Die Hard – ダイ・ハード
この記事を書いた人

第41第東洋太平洋(OPBF)ウェルター級王者
元WBC世界同級34位
元WBO-AP同級3位
元角海老宝石ジム所属

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