自然数の加法の定義から結合法則を導く

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股関節おじさんの勉強部屋
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順序集合(関係)の定義を学んでいるのですが、反射律やら推移律やら反対称律やら。
「相等」関係をやった時にも出てきた概念です。
「意味は分かる、だけどその心は?」って感じです。

というわけでネットを徘徊。
少しづつ
「もしかして『順序』の概念は自然数の加法の概念を拡張しているんじゃない?」
となってきました。

自然数の定義は1(or 0)を起点とし、無限に後者が存在しているとする仮定を前提に後者関数と数学的帰納法によって数を生み出していきます。

要するに 1 の後者 S(1) は 1 より大きい、S(1) の後者 S(S(1)) は S(1) より大きいという方向性によって順序や大小関係を数学者は定義したのではないかと。
この発想は人の直感的な大小関係に近いですよね。

そして 1 + 1 は 1 より大きいと論理的に同義です。
つまり、
「反射律や推移律…のような突然現れたように見える概念は、自然数の加法の定義を拡張して抽象化した概念なのでは?」
ということですね。
自然数の加法の定義と定理を深めていけば何か分かるだろうってことで進めていきます。

定理【ていり】 数学で真である命題,つまり公理系から演繹的推論により導かれる(証明される)命題

コトバンク

定理を簡単に説明すると。「公理(定義)が真であるとした場合論理的に導かれる性質」のことです。
今回は自然数の加法の定義から導き出される定理を見ていきます。

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加法の定理

加法の定義

加法の定義はシンプル。
$a \in \mathbb N;a + 1 = S(a)$
$a,b \in \mathbb N;a + S(b) =S(a + b) $
※1を起点とする流儀
詳しい解説は上の記事にあります。

結合法則

厳密に、集合 S 上で定義された二項演算 ∗ が結合的であるとは、結合法則

$\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z)\qquad (\forall x,y,z\in S)$

を満足するときに言う。
ここで、∗ は考えたい演算(それを一般に「乗法」や「積」と呼んだりする[注釈 1])を表す記号(演算子)であって、これは別にどのような記号が用いられてもよいし、あまつさえ「乗法」を表す記号のない併置 (juxtaposition) 記法で

$\displaystyle (xy)z=x(yz)=xyz\qquad (\forall x,y,z\in S)$

と書くこともある。
結合法則を函数記法で表すこともでき、その場合は

$\displaystyle f(f(x,y),z)=f(x,f(y,z))$

のようになる。

Wikipedia

ごちゃごちゃとしてややこしいですが、加法を二項演算として定義していたり、写像として定義していたりするだけです。
1 + 2 = 2 + 1 = 3
定義から導きさせる、足す順番(結合)を入れ替えても結果が変わらない性質のことを言っています。

以下、定義から結合法則が導きさせることを証明していきます。

$(x+y)+z = x+(y+z)$

まずはz = 1 の場合
加法の定義

$a \in \mathbb N;a + 1 = S(a)$
$a,b \in \mathbb N;a + S(b) =S(a + b) $

※演算記号が*だと混乱するので* = + で進めます

定義から左辺は

$(x+y)+1 = S(x+y)$

と変形できます。

次に右辺。
1の場合の定義に従い変形

$x+(y+1) = x+S(y)$

次に1以外の場合の定義に従い変形

$x+(y+1) = x+S(y) = S(x+y)$

よってどちらの式も同じ形に変形でき、結合法則が成り立つことが証明できました。

$(x+y)+z = x+(y+z)$

結合法則の一般化

二項演算が結合的ならば、その演算が反復して適用されるとき、その式においてきちんと(開きと閉じが)対になる括弧がどのように挿入されるかを気にすることなく、その演算結果が同じであることがわかる[2]。そのことを一般化された結合法則 (generalized associative law) と言う。
実例として、四つの元の積を、それらの因子の順番を変えることなく書き下せば、五種類の異なる計算順序が考えられる:

・$\displaystyle ((ab)c)d$
・$\displaystyle (ab)(cd)$
・$\displaystyle (a(bc))d$
・$\displaystyle a((bc)d)$
・$\displaystyle a(b(cd))$

が、これらの積を得る演算が結合的ならば、一般化された結合法則の述べるに従い、これらすべてが同じ値の積であることが結論される。
となれば(これらの式から括弧をすべて取り払った式に既に別の意味が施されているのでない限り)この積において括弧は「不要」のものと考えることができて、この積を紛れの虞なく

$\displaystyle abcd$

と書くことができる。
このような繰り返しの積において、因子となる元の数が増えるにしたがって、釣り合いのとれた括弧の挿入の仕方総数は急速に増加するけれども、演算が結合的ならばそれらの区別もやはり必要がなくなる。

文字列の連接: 三つの文字列 "hello"" ""world" の連接を計算するのに、最初の二つをつないで "hello ") を得てから三つ目の "world" をつなぐのと、後の二つをつないで " world" を得てから一つ目の "hello" をつなぐのと、二種類の仕方があるがこれらは同じ結果になる。ゆえに文字列の連接は結合的である(が可換ではない)。

Wikipedia

長めの引用になってしまいましたが、加法の定義が適用できるものは結合法則という性質を持っており、結合法則は結合の順序によっては結果が変わらないと言っています。
その例として英語が挙げられています。

これを踏まえた上で以下の順序集合の定義を眺めてみると

  • 反射律P の任意の元 a に対し、a ≤ a が成り立つ。
  • 推移律P の任意の元 abc に対し、a ≤ b かつ b ≤ c ならば a ≤ c が成り立つ。
  • 反対称律P の任意の元 ab に対し、a ≤ b かつ b ≤ a ならば a = b が成り立つ。
  • 全順序律P の任意の元 ab に対し、a ≤ b または b ≤ a が成り立つ。

反射律は0を含む流儀の自然数の加法の定義っぽいし、推移律は加法が後者関数で表せることを言っている気がするんです。
気のせいかもしれませんが。

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Die Hard – ダイ・ハード
この記事を書いた人

第41第東洋太平洋(OPBF)ウェルター級王者
元WBC世界同級34位
元WBO-AP同級3位
元角海老宝石ジム所属

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