素人が数学に挑戦 行列基本変形

股関節おじさんの勉強部屋

行列の勉強していると頻繁に「行列の基本変形により~」って出てきて混乱するんでやっときます。

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行列基本変形

以下の6つの変形が基本変形にあたります。

行の基本変形

1.ある行をcスカラー倍する(c ≠ 0)
2.ある行を別の行と入れ替える
3.スカラー倍した行を他の行へ足す

行を列に入れ替えても成立するので全部で6つの変形が許されています。
意味わかりませんよね。
僕も分かりませんでした。

調べていくと分かりましたがこの変形は連立方程式に由来しています。
二次元(二つの式の連立)の連立方程式なら移行して代入して、で解決できますが多次元の連立方程式となるとその作業の労力はちょっと見過ごせません。

昔の偉人の中に多次元連立方程式の計算に応用できる法則性を導き出して計算を簡略化してくれた人がいたんですね。
それを元にしているのが行列の基本変形。行列基本変形の目的は「ある行列を扱いやすい形に変形する」です。

長くなりそうなので今回は一つづつ具体例を元に変形を見ていくだけに限り、次回連立方程式による変形の由来を見ていきます。

こんな行列があったとします。

$\begin{pmatrix}2 & 3 & -1 & 11\\ 1 & -1 & 2 & -2\\ 1 & 2 & 0 & 5\end{pmatrix}$
数が羅列していてイライラしますが、行列基本変形ならいい感じの見た目に成形することができます。

基本変形の定義通りに。
まずは一つ目の定義を使って行を入れ替えます。
①行目と②行目。
$\begin{pmatrix}1 & -1 & 2 & -2 \\ 2 & 3 & -1 & 11 \\ 1 & 2 & 0 & 5\end{pmatrix}$

次に三つ目の定義を使い2行目に-2倍した1行目を加えます。
$\begin{pmatrix}1 & -1 & 2 & -2 \\ -2 + 2 & 2 +3 & -4 + -1 & 4 + 11 \\ 1 & 2 & 0 & 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & -2\\0 & 5 & -5 & 15 \\ 1 & 2 & 0 & 5\end{pmatrix}$
こう変形できます。
「なんで変形できるんだよ」って感じだと思いますが、今は上記の定義を認めてください。

次は3行目に-1倍した1行目を足します。
$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & -2\\0 & 5 & -5 & 15 \\ 1 -1 & 2 +1 & 0 – 2 & 5 + 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & -2\\0 & 5 & -5 & 15 \\ 0 & 3 & – 2 & 7\end{pmatrix}$

次に二つ目の定義により2行目を1/5倍します。
$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & -2\\0 & 5 & -5 & 15 \\ 1 & 2 & 0 & 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & -2\\0 & 1 & -1 & 3 \\ 0 & 3 & – 2 & 7\end{pmatrix}$

最後に3行目に3倍した2行目を加えます。
$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & -2\\0 & 1 & -1 & 3 \\ 0 + 0 & 3 – 3 & -2 +3 & 7 – 9\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & -2\\0 & 1 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -2\end{pmatrix}$

このように変形できます。
今は意味が分からないと思いますが、連立方程式との関係性を見ていくとこの行列の形の意味が理解できます。

次回、何故基本変形の形に行列が変形できるのか、変形した行列にはどんな意味があるのかを見ていきます。

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