暇つぶしに見て 集合と自然演繹と認識
上は素朴集合論の∪∩の定義から導かれる分配法則とその証明。 以下は論理和と論理積の分配法則の自然演繹。 1.(仮定) 2.A∨B(∨導入) 4.A∨C(∨導入) 5.(A∨B)∧(A∨C)(∧導入) 6.A→(A∨B)∧(A∨C)(→導入)...
自然演繹
暇つぶしに見て 暇つぶしに見て 矛盾からは何でも導ける証明
ふと、「矛盾からはどんな命題を導いても良い」と言える推論はどんなだろなと。 （数学的な意味での）矛盾の興味深い性質として、矛盾を含む体系においてはどんな命題を導くこともできる、というものがある Wikipedia そのような規則があると勝手...
暇つぶしに見て 集合と認識と自然演繹
我流集合論 人の認識の規則を記号化したものが論理、それを拡張したのが集合、それをさらに拡張したのが関数、という過程の下なら、下記の関係が成り立つはずなので、それを証明します。(A⊂B)⇔(x∈A⇒x∈B)⇔(P(x)⇒Q(x)) 集合 A ...
暇つぶしに見て 同値関係の議論
同値関係は長濱式では下のように定義しています。前提の同値関係が成立しない場合の議論はどんな風に結論されるのかなあと。 同値関係 A⇔B≔A→B∧B→A≔は定義するの記号。 ((A→B)→T∧(B→A)→T)→T(前提)¬((A→B)→T∧(...
未分類 論理和と論理積の分配法則 その4
引用の記事の続きです。(A∧B)∨(A∧C)→A∧(B∨C)とA∧(B∨C)→(A∧B)∨(A∧C)を証明して必要十分条件が成り立ちますが、後者の証明がされていませんでした。 というわけで下の同値関係の証明に挑戦。A∧(B∨C)⇔(A∧B)...
暇つぶしに見て ∀と∃の交換律
基本的に我流定義なので、∀と∃の順番は気にしてませんでしたが「ちょっと待って、これ大丈夫？」と不安になったので ∀x∈X,∀y∈Y:P(x,y)⇔∀y∈Y,∀x∈X:P(x,y) が成り立つのか確認します。 ∀x∈X,∀y∈Y:P(x,y)...
暇つぶしに見て 我流負数定義の修正
前回に定義した負数の乗法は自然数の乗法の定義でいけるんじゃないか、と閃いたので試してみます。あとはマイナス×マイナスに関する乗法も定義しました。 a×-(s(0))(前提)a×s(0)×-1(定義)((a×0)+a)×-1(定義)(0+a)...
暇つぶしに見て 我流除法と分数の定義
我流除法の定義が人の認識通りに運用できるかテストします。 我流除法テスト 我流定義a/1=aa÷b=a/b(a×c)÷(b×c)=a/b 以下テスト。 10÷5(前提)((2×0)+2+2+2+2+2)÷((5×0)+5)(乗法定義)((2...
暇つぶしに見て 乗法の分配法則
乗法の交換法則を証明していたはずが気がつくと分配法則を証明していました。何を言っているのか自分も分かりませんが、気がついたら証明されていました。 分配法則は下の法則x(y+z)=xy+xz 分配法則の証明 数学的帰納法を用いますので、連鎖反...
暇つぶしに見て 乗法の交換法則その1
乗法の交換法則を我流で証明します。その前段階としてa×0=0×aが真である証明。 乗法の交換法則の証明 すべての自然数 a に対して a × 0 = 0すべての自然数 a, b に対して a × suc(b) = (a × b) + aWi...
暇つぶしに見て 奇数が無限にある証明
我流数学やっていきます。今回も数学的帰納法の練習。奇数が無限個あることを証明します。 奇数が無限個ある証明 2n-1+1+1(前提)2n+2-1(加法)2(n+1)-1(分配法則)2k-1(代入)2n-1+1+1→2k-1(→導入) nは自...
暇つぶしに見て 自然数の偶数が無限に在ることの証明の雰囲気
数学的帰納法の雰囲気を味わいますり 自然数の乗法すべての自然数 a に対して a × 0 = 0すべての自然数 a, b に対して a × suc(b) = (a × b) + a自然数の加法すべての自然数 a に対して a × 0 = 0...