暇つぶしに見て 「論理包含」で正気を失う
部分集合から集合の相等関係の法則を導く証明の際に使用した下の法則を理解するために論理包含を学びます。 【ドモルガンの法則】$\displaystyle (P\rightarrow Q)\land (Q\rightarrow P)\right...
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暇つぶしに見て 集合の相等関係と部分集合の法則
集合はモノの集まりと素朴には定義されます。集合と集合の間には足したり引いたりの演算が定義されています。和集合に差集合、共通部分に補集合といったものです。これは前回やりました。 今回は集合の演算を定義することで必然的に導き出される集合の定理（...
暇つぶしに見て 集合と概念と概念を創る
以下の記事で存在についての僕の個人的なイメージが少しだけ作られました。存在を定義する、概念を創るとは対象となる概念とそれ以外の概念との関係を明らかにすることであると現時点では納得できます。「動物」って概念の上に何らかの関係を定義することで「...
暇つぶしに見て 関係によって存在が定義される
底なし沼ですね。納得することはできるのだろうか。「存在」について僕の考えを書き出していきます。 上の記事で解説しているように「存在」と「関係」は別の性質を持つ概念ではないのか？って発想へ行き着きました。となると「存在」って、つまり概念を創る...
暇つぶしに見て 存在と関係
僕の中で解決していない問題。「等しい」について。 等号がスタートです。以下僕の頭の中を書き出して整理します。 等号って何だろうな。Wikipediaぽち。 【等号】等号の左右が等価であることを表し、等号で結ばれた数式を「等式」と呼ぶ。Wik...
暇つぶしに見て 自然数の加法の定義から交換法則を導く
結合法則を導く証明の次は交換法則。 交換法則はa*b = b*aが満たされる性質のことです。例えば加法と乗法は1+2 = 2+1 = 31*2 = 2*1 = 2で演算の順番を入れ替えても結果は変化しません。 結合法則の時もそうでしたが、交...
暇つぶしに見て 二項演算とマグマと写像
プログラミングでもやっていない限り「演算」は日常的には使いませんが、かっこい言葉ですよね。代表的な演算は四則演算と呼ばれ、+,-,×,÷の記号で表されます。 【二項演算】集合の一つの元（幾つかのものの組であってもよい）に他の一つの元を対応さ...
暇つぶしに見て 自然数の加法の定義から結合法則を導く
順序集合（関係）の定義を学んでいるのですが、反射律やら推移律やら反対称律やら。「相等」関係をやった時にも出てきた概念です。「意味は分かる、だけどその心は？」って感じです。 というわけでネットを徘徊。少しづつ「もしかして『順序』の概念は自然数...
暇つぶしに見て 直積集合と関係と写像のドツボ
「関係」という概念のドツボにハマりました。まあでも、ここを走り抜けば何か見えてくるはず。 「関係」「直積集合」「写像」のそれぞれの概念を定義する議論は理解していると僕は思っています。なので、それぞれを眺めているだけなら何かを感じることはない...
暇つぶしに見て 写像は関係の一種？
集合論の理解を進めようとする度に起こる僕の混乱を共有します。 「『=』は集合AとBの対応を表す写像なんだ！」と納得して順序関係に進もうと「≦」を見た瞬間に気が付きましたが、大小”関係”を表す「≦」は写像の定義満たしてません。 写像の定義では...
暇つぶしに見て 集合と写像の個人的なイメージ
「＝」の数学的な概念は理解できました。しかし、とてつもない違和感を覚えます。 それは「＝」の数学的に定義された概念と僕が日常的に使用している「＝」に抱く主観的な意識内容である観念が一致していないからです。 数学の「＝」の概念は僕の意識内にあ...
暇つぶしに見て 「等しい（=）」って、何…？
数学の集合論を学んでいると「同値」て概念が気になって、寄り道して同値の議論を眺めていたら「＝」って記号が気になり始めて、「そう言えば『＝』って論理記号は当たり前のように使っているが、それはどう定義されているのだろう」とWikipediaを調...