暇つぶしに見て 素人が数学に挑戦 加法の定義
自然数が群であることを証明する過程で演算の閉性を示そうとしてたんですけど、そういえば「加法」「乗法」の定義をきちんと知らないよなあって。このままじゃ「スカラー倍で～」とか「行列積が～」とかドヤれないですね。数学やる理由はドヤァってやりたいっ...
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暇つぶしに見て 素人が数学に挑戦 自然数の定義
群の分野の続きです。 自然数 頭では群を抽象化し厳密に定義することの意味は理解できていますが、その威力を体感していないので、なんだか群の輪郭がぼやけています。というわけで簡単に群にはどんなものがあるのか見ていきます。 定義 群の定義を簡単に...
暇つぶしに見て 素人が数学に挑戦 群
群論って抽象的な議論が展開される分野です。なんでそんなこと考えるの？って感じますが、超高度な抽象化が必要な状況があったのだろうと無理やり納得させて前へ進めていきます。 とりあえず群の定義から。 群 定義 群（グループ）は集合です。群という集...
暇つぶしに見て 素人が数学に挑戦 論理記号の翻訳
群論って森に迷い込みました。道しるべとなる論理記号を学びます。 僕は基本的にWikipediaを読んで、分からないことをネットで分かるまで検索するって方法で勉強しています。教科書でやろうとしましたんですが、どこまでも掘り下げないと気が済まな...
暇つぶしに見て 素人が数学に挑戦 行列の基本変形と連立方程式
以下の記事の行列の基本変形にギョッとして怯んでしまいそうになったと思いますが、今回は何故基本変形の規則性で行列を変形できるのか、また何故変形した後の形が大切なのかを見ていきます。 連立方程式の変形 例えばこんな連立方程式があったとします。$...
暇つぶしに見て 素人が数学に挑戦 行列基本変形
行列の勉強していると頻繁に「行列の基本変形により～」って出てきて混乱するんでやっときます。 行列基本変形 以下の6つの変形が基本変形にあたります。 行の基本変形 1.ある行をcスカラー倍する(c ≠ 0)2.ある行を別の行と入れ替える3.ス...
暇つぶしに見て 素人が数学に挑戦 線形変換 その2
線形変換 行列とか線形性とか線形写像はかなり難しく感じる、やってもやってもやってもきりがない。学問だから当たり前だけど深いわ。 これまでの人生には現れてこなかった、現れても認識できなかった概念だからだと思いますが、理解するのも時間がかかるし...
暇つぶしに見て 素人が数学に挑戦 線形変換
行列の和は成分同士を足し合わせるだけなのでベクトル加法のイメージを広げることで理解できました。ただ行列の積は独特な演算規則が定義されていてすんなりとは理解できません。理解するのにかなり苦労したんですが、ようやく何となく行列が何なのか、何故行...
暇つぶしに見て 素人が数学に挑戦 行列
数学ってほんとに切りがない。実数の性質を勉強していて気が付いたらベクトル空間って概念に広がっていって、それをさらに深めると線形代数って学問が出現しました。行列ってやつが出てきたので学びます。ざっと見た感じベクトル空間と似たようなものでした。...
暇つぶしに見て 素人が数学に挑戦 ベクトル空間の一般化 その2
数学って深すぎますね。実数の性質について学んでいたはずが、気が付けばベクトル空間って底なし沼に足をとられています。 僕は搔い摘んで学んでいるのである程度の速度を保って前進できていますが、本当に理解しようとすれば途方もない時間と労力が必要なの...
よもやま話 負の質量って発見されてんのかよ
また、数学の論理を突き詰めていくと虚数って不思議な数とか無限って想像を絶する概念が必要になったりもします。ベクトル空間のように数学の概念が現実をうまく記述できるのなら、マイナス時間とかマイナス長みたいな人間の感覚を超えたマイナスの量の存在も...
暇つぶしに見て 素人が数学に挑戦 ベクトル空間の一般化
まだ続くベクトル空間の話。今回はベクトル空間の定義を一般化して適用できる範囲を拡張していきます。 ベクトル空間の公理が満たされれば、例えそれがどんな風に見えてたとしても、それはベクトル空間です。 ベクトル空間の一般化 まずベクトル空間の公理...