よもやま話 モンティ・ホール問題
モンティ・ホール問題 ＜投稿された相談＞ プレーヤーの前に閉じた3つのドアがあって、1つのドアの後ろには景品の新車が、2つのドアの後ろには、はずれを意味するヤギがいる。プレーヤーは新車のドアを当てると新車がもらえる。プレーヤーが1つのドアを...
数学とか
よもやま話 よもやま話 リンダ問題
一緒に論理的思考能力を鍛えましょう。 リンダは31才、独身、率直な性格で、とても聡明である。大学では哲学を専攻した。学生時代には、差別や社会正義といった問題に深く関心を持ち、反核デモにも参加した。 どちらの可能性がより高いか？ リンダは銀行...
数学とか べき乗の指数法則 $a^{m}≠a^{n}→m≠n$
べき乗 実数 x の正整数 n 乗は、素朴には、n 個の x を掛け合わせたものである。厳密には、次のように再帰的に定められる。 (∗)x¹:=x,(∗∗)xn+1:=xⁿ×x(n≥1).x0 を定義する場合には、関係式 (∗∗) が n ...
数学とか べき乗の分配法則 $a^{xy}=(a^{x})^{y}$
指数法則 べき乗 実数 x の正整数 n 乗は、素朴には、n 個の x を掛け合わせたものである。厳密には、次のように再帰的に定められる。 (∗)x¹:=x,(∗∗)xn+1:=xⁿ×x(n≥1).x0 を定義する場合には、関係式 (∗∗)...
数学とか 指数の加法法則 xⁿ･x¹=xⁿ⁺¹
べき乗の性質 べき乗 実数 x の正整数 n 乗は、素朴には、n 個の x を掛け合わせたものである。厳密には、次のように再帰的に定められる。 (∗)x¹:=x,(∗∗)xn+1:=xⁿ×x(n≥1).x0 を定義する場合には、関係式 (∗...
数学とか べき乗の大小関係 1
べき乗 実数 x の正整数 n 乗は、素朴には、n 個の x を掛け合わせたものである。厳密には、次のように再帰的に定められる。 (∗)x¹:=x,(∗∗)xn+1:=xⁿ×x(n≥1).x0 を定義する場合には、関係式 (∗∗) が n ...
べき乗 実数 x の正整数 n 乗は、素朴には、n 個の x を掛け合わせたものである。厳密には、次のように再帰的に定められる。 (∗)x¹:=x,(∗∗)xn+1:=xⁿ×x(n≥1).x0 を定義する場合には、関係式 (∗∗) が n ...
数学とか 指数の法則 複利の計算式
複利計算 実数 x の正整数 n 乗は、素朴には、n 個の x を掛け合わせたものである。厳密には、次のように再帰的に定められる。 (∗)x¹:=x,(∗∗)xn+1:=xⁿ×x(n≥1).x0 を定義する場合には、関係式 (∗∗) が n...
数学とか 指数の法則 底を共有する指数の大小関係
指数の性質 指数の性質を考えます。 (仮定) ⊥(正と負の乗法) ¬(x<0∧0<y→0<xy)(背理法) ¬(¬(x<0∧0<y)∨0<x･y)(→言い換え) ¬(0<x∨y<0)→x･y<0(ド・モルガンの法則) x<0∧0<y→x･y...
数学とか 数学的帰納法の雰囲気その三
数学的帰納法 例題)1²+2²+3²+...x²=x(x+1)(2x+1)/6※1 x=1(仮定) (1･2･3)/6=1(代入) 1²=1(代入) 1=1(同値関係) 数学的帰納法の第一段階完了。 次は第二段階。 ※1がx任意のxにn成り...
数学とか 数学的帰納法の雰囲気その二
数学的帰納法 無理数って何？→アルキメデスの性質って何？→無限大や無限小って何？→無限はどう対処するの？(今ここ) 「無限大」というのは、「どの実数よりも大きな数」という形で捉えられていると思われるが、特定の数を表しているわけではなく、「い...
数学とか x⁰=1
形式的な証明 まずは形式的な証明。 実数 x の正整数 n 乗は、素朴には、n 個の x を掛け合わせたものである。厳密には、次のように再帰的に定められる。 (∗)x¹:=x,(∗∗)xn+1:=xⁿ×x(n≥1).x0 を定義する場合には...
数学とか アルキメデスの性質と全順序
任意の実数x,yには必ず順序関係が定義されている。 x≦y∨y≦x(完備律) また、加法は≦関係を保存する。 0<x<y,0<z⇒x+z<y+z(加法律) すなわち、任意の大きな実数より大きな実数は常に創れる(実数は無限大に頭を押さえつける...