加算無限同士の加法

参考書

有理数と自然数の濃度が等しいことに証明が理解はできるけど、視覚的に同値の対応関係が示されていて、我流で。

可算集合とは N と濃度が等しい集合のことである[1]。すなわち、集合 S が可算であるとは、自然数全体の集合 N との間に全単射が存在することをいう

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証明

偶数と自然数は全単射
$n∈ℕ:n⇒2n…①$
この対応関係は、自然数の定義から論理的に必ず構成できます。
奇数も然り。
$n∈ℕ:n⇒2n+1…②$

自然数-偶数=奇数
自然数=偶数+偶数…③
①②より偶数と自然数、奇数と自然数の濃度は同値。また③より、偶数と奇数を足した集合の濃度と自然数の濃度は同じ
|偶数|+|奇数|=|自然数|

自然数は加算無限の定義を満たす。
つまり、
加算無限+加算無限=加算無限…④

有理数

$\displaystyle \mathbb {Q} =\left\{{a \over b}\mid a,b\in \mathbb {Z} ,b\neq 0\right\}$

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分母が1の有理数の集合$ℚ_{1}$を考える。
$\frac{1}{1},\dfrac{2}{1}…$
この集合は有理数の定義より、自然数と濃度が同じ

次に分母が2の場合の$ℚ_{2}$を考える。
この場合も自然数と濃度は同じ。

また、この場合は
加算無限+加算無限
よって$ℚ_{1}+ℚ_{2}$は加算無限。

同様に分母が3の$ℚ_{3}$を$ℚ_{1}+ℚ_{2}$に加算した場合も加算無限

分母を$n$と仮定した場合は、偶数との全単射が成り立つ。
分母が$n+1$なら、奇数と全単射になる。

すなわち、数学的帰納法により、有理数は自然数との全単射を論理的に構成できる。

すなわち自然数と有理数の濃度は同じ。