これの続き。
微分可能
微分の定義式からテイラー展開を導こうって遊び。
前回の記事で導いた式
$\displaystyle \lim_{ h \to 0 }\dfrac{f(a+h)-f(a)-f'(a)h}{h}=o(h)$
- ビッグ・オー (O)
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- 定義：f(x) = O(g(x)) とは、変数が極限（無限大または特定の点）に向かうとき、f(x) の増加（または減少）のペースが g(x) の定数倍で抑えられること（それ以上は急激にならないこと）を示します。
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- スモール・オー (o)
- 定義：f(x) = o(g(x)) とは、f(x) が g(x) に比べて厳密に速く 0 に収束する（あるいは無視できるほど小さい）ことを示します。
- 数式：$\lim \left\vert{} \frac{f(x)}{g(x)} \right\vert{} = 0$
$\displaystyle \lim_{ n \to 0 }\frac{f(a+h)-f(a)-ch=0}{h}=o(h)$(ランダウの記号)
スモールオーのランダウの記号が成り立つことは分かっているので、分数を同値に分解して
$\displaystyle \lim_{ n \to 0 }\frac{f(a+h)-f(a)=0}{h}-\frac{ch}{h}=0$(分数加法)
$\displaystyle \lim_{ n \to 0 }\frac{f(a+h)-f(a)=0}{h}–c=0$(乗法逆元)
$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{ch}{h}=c$(加法逆元)
微分の定義式が現れました。
$f'(a)=c$が存在します。
テイラー展開の形に似ている。
二階微分
分数の分数については連分数展開関連でやってます。
直感的に導くなら
$\frac{1}{2}$(仮定)
$=\frac{\frac{2}{2}}{2}=\frac{2}{2･2}$…②
二階微分を連分数の形に直します。
$f”(a)=\frac{\frac{f(a+h+h)-f(a+h)}{h}-\frac{f(a+h)-f(a)}{h}}{h}$(微分定義)
$=\frac{f(a+h+h)-f(a+h)-(f(a+h)-f(a)))}{h^{2}}$(②)
両辺に$h^{2}$をかけます。
$f”(a)･h^{2}=f(a+h+h)-f(a+h)-(f(a+h)-f(a)))$(乗法逆元)
極限で邪魔なやつを消します。
$f”(a)･h^{2}=f(a+h+h)-f(a+h)-(f(a+0)-f(a)))$(極限)
$f”(a)･h^{2}=f(a+h+h)-f(a+h)$(加法逆元)
移項して
$f”(a)･h^{2}+f(a+h)=f(a+h+h)$(加法逆元)
冒頭の①を代入してランダウ記号で近似。
$f”(a)･h^{2}+f(a)+f'(x)h+o(h)=f(a+h+h)$
$f(a+h+h)=f”(a)･h^{2}+f(a)+f'(a)h+o(h)$(交換法則)
$a$で微分可能ならテイラー展開っぽい式にはなるんだけど、テイラー展開ではない。テイラー展開は微分で出てくる係数を消去されてる。
係数が削除される仕組みってこれじゃね？って記事
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