テイラー展開

テイラー展開数学においてテイラー級数（テイラーきゅうすう、英: Taylor series）は、関数のある一点での導関数の値から計算される項の無限和として関数を表したものである。そのような級数を得ることをテイラー展開（テイラーてんかい）とい...

上の続き。

微分可能
二階微分

微分可能

微分の定義式からテイラー展開を導けないものかと。

$\displaystyle \lim_{ n \to 0 }f(a+h)-f(a)-ch=0$(仮定)
$=\displaystyle \lim_{ n \to 0 }f(a+h)-f(a)=ch$(加法逆元)
$=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{ch}{h}=c$(乗法逆元)
微分の定義式が現れました。

すなわち、
微分可能なら
$\displaystyle \lim_{ n \to 0 }f(a+h)-f(a)-ch=0$
を満たすcがあり、微分可能なら
$f(a+h)=f(a)+ch$…①
を満たすcか存在します。

二階微分

分数の分数については連分数展開関連でやってます。

直感的に導くなら
$\frac{1}{2}$(仮定)
$=\frac{\frac{2}{2}}{2}=\frac{2}{2･2}$…②

二階微分は
$f”(a)=\frac{\frac{f(a+h+h)-f(a+h)}{h}-\frac{f(a+h)-f(a)}{h}}{h}$(微分定義)
$=\frac{f(a+h+h)-f(a+h)-(f(a+h)-f(a)))}{h^{2}}$(②)
両辺に$h^{2}$をかける。
$f”(a)･h^{2}=f(a+h+h)-f(a+h)-(f(a+h)-f(a)))$(乗法逆元)
$f”(a)･h^{2}=f(a+h+h)-f(a+h)-(f(a+0)-f(a)))$(極限)
$f”(a)･h^{2}=f(a+h+h)-f(a+h)$(加法逆元)
移項して
$f”(a)･h^{2}+f(a+h)=f(a+h+h)$(加法逆元)

冒頭の①を代入。
$f”(a)･h^{2}+f(a)+f'(x)h+o(h)=f(a+h+h)$
$f(a+h+h)=f”(a)･h^{2}+f(a)+f'(a)h+o(h)$(交換法則)
$f(a)=f”(a)･h^{2}+f(a)+f'(a)h+o(h)$(極限)

$a$で微分可能ならテイラー展開っぽい式にはなるんだけど、テイラー展開ではない。テイラー展開は微分で出てくる係数を除去する。