ベクトルの勉強中に必要になりました。なんとなく分かっているだけなので、具体的に勉強します。
変化率を分析する
一瞬を切り取る、ある瞬間の変化率を取り出します。
関数 f(x) が開区間
$\displaystyle I\subset \mathbb {R} $ において定義されているとする。そのとき、
$\displaystyle a\in I$ に対し、極限
$\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$
が存在するとき、f(x) は x = a において微分可能であるという
ある対象の変化率とは、例えば自動車。
2時間で100km先に到着が目標です。
平均変化率は
2×a=100
a=50
平均変化率は50。つまり平均毎時50km/hで進めば、目的地に到着します。
この時間を1時間、1分、1秒、0.1秒.0.00….1秒と時間を限りなく小さくした場合の変化率を考えるのが微分です。
平均変化率
平均変化率の定式化
$\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$
hは変化量の軸。自動車の例なら、ある瞬間から現在までの走った「時間」になります。
速度の定義。「速度」とは変化率のことです。
例)指数関数$x^{2}$の平均変化率は
$\dfrac{(a+h)^{2}-a^{2}}{h}$
$\dfrac{a^{2}+2ah+h^{2}-a^{2}}{h}$
$\dfrac{2ah+h^{2}}{h}$(加法逆元)
$2a+h$(乗法逆元)
aに任意の実数を入れれば、その瞬間の平均変化率(速度)が得られます。
微分
微分はhを限りなく0に近づけることです。
$\displaystyle \lim_{ h \to 0 }2a+h=2a$
すなわち、$x^{2}$のaの瞬間の傾きは$2a$。$4$なら平均変化率は$8$、6なら$12$。
xが大きくなるほどに平均変化率(=傾き)が急になります。
時間の指数関数なら時間と共に速度の変化率は大きくなります。
内点と境界点
微分はaの近傍の両側が定義域に含まれる場合だけ可能(aが内点)。境界点は微分できません。
定義域に含まれる方だけで微分を定義するのが片側微分です。
点aを選んだ場合に、その近傍の左右のいずれかが定義域内、かつ反対側がはみ出す点なら境界点です。
内点
ある集合 の点の周囲に、その集合 に完全に含まれる「開近傍（開集合）」が存在する場合の点を指す。片側微分は、点 \(x=a\) における関数の微分可能性を左右どちらかの片側極限を用いて定義する手法です。
AI
境界点
実数空間 R の部分集合 A が与えられたとき、点 a∈R の任意の近傍が A と A の補集合の双方と交わるならば、a を A の境界点と呼びます。また、A のすべての境界点からなる集合を A の境界と呼びます。
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