微分

ベクトルの勉強中に必要になったので。なんとなく分かっているだけなので、具体的に勉強する。

変化率を分析する
平均変化率
微分
内点と境界点
導関数

変化率を分析する

一瞬を切り取る、ある瞬間の変化率を取り出す。

関数 f(x) が開区間

$\displaystyle I\subset \mathbb {R} $ において定義されているとする。そのとき、

$\displaystyle a\in I$ に対し、極限

$\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$

が存在するとき、f(x) は x = a において微分可能であるという

ウィキペディア

ある対象の変化率とは、例えば自動車。
2時間で100km先に到着が目標。
平均変化率は
2×a=100
a=50
平均変化率は50。つまり毎時50km進む。平均50km/hで進めば目的地に到着する。

1時間、1分、1秒と時間を限りなく小さくした場合の変化率を考えるのが微分。

平均変化率

平均変化率
$\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$
上の自動車の例を抽象化。

速度の定義。速度とは変化率。

指数関数$x^{2}$の平均変化率は
$\dfrac{(a+h)^{2}-a^{2}}{h}$
$\dfrac{a^{2}+2ah+h^{2}-a^{2}}{h}$
$\dfrac{2ah+h^{2}}{h}$(加法逆元)
$2a+h$(乗法逆元)

aに任意の実数を入れれば、変化率が得られる。

微分

微分はhを限りなく0に近づけること。

$\displaystyle \lim_{ h \to 0 }2a+h=2a$
すなわち、$x^{2}$のaの瞬間の傾きは$2a$。$4$なら$8a$、6なら$12a$。

xが大きくなるほどに平均変化率(=傾き)が急になる。

時間の指数関数なら時間と共に速度の変化率は大きくなる。

極限の収束

問題を解きながら極限の収束について学びます。$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \dfrac{1}{n²}=0$証明0<x<y(仮定)0<x(y-x)(乗法律)0<xy-x²(分配法則)x²<xy(加法...

内点と境界点

微分は近傍の両側が定義域に含まれる場合だけ可能(aが内点)。境界点は微分できない。

定義域に含まれる方だけで微分を定義するのが片側微分。

ある集合の点の周囲に、その集合に完全に含まれる「開近傍（開集合）」が存在する場合の点を指す。

片側微分は、点 $x=a$ における関数の微分可能性を左右どちらかの片側極限を用いて定義する手法です。

AI

実数空間 R の部分集合 A が与えられたとき、点 a∈R の任意の近傍が A と A の補集合の双方と交わるならば、a を A の境界点と呼びます。また、A のすべての境界点からなる集合を A の境界と呼びます。

WIIS

導関数

$x^{2}$(仮定)
$\dfrac{(a+h)^{2}-a^{2}｝}{h}$(微分)
$\dfrac{(a^{2}+2ah+h^{2}-a^{2})}{h}$
$\dfrac{(2ah+h^{2}}{h}$(加法逆元)
$2a+h$(乗法逆元)
$2a+0$(極限の収束)
$2a$(加法単位元)

$f’=2x$(仮定)
定義域$1≦x≦5$なら
$x=1⇒f’=2$
$x=2⇒f’=4$

$f=\dfrac{1}{x}$(仮定)
定義域$1≦x≦5$
$x=a$
$(\dfrac{1}{a+h}-\dfrac{1}{a})･\dfrac{1}{h}$(微分)
$\dfrac{a}{a(a+h)}-\dfrac{a+h}{a(a+h)}･\dfrac{1}{h}$
$\dfrac{-1}{a(a+h)}$(加法逆元と乗法逆元)
$-\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{a}･\displaystyle \lim_{ h \to 0 }\dfrac{1}{a}$(極限)
$-\dfrac{1}{a}･\dfrac{1}{a}$(収束)
$-\dfrac{1}{a^{2}}$(指数関数)

定義域内の任意の数の導関数の導出。$x=1⇒1$
$x=5⇒\dfrac{1}{25}$