問題を解きながら極限の収束について学びます。
$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \dfrac{1}{n²}=0$
証明
0<x<y(仮定)
0<x(y-x)(乗法律)
0<xy-x²(分配法則)
x²<xy(加法逆元)
1<x<y→x²<xy(→導入)…①
1<x(仮定)
x<x²(①)…∗
xⁿ<xⁿ⁺¹⇒xⁿ⁺²<xⁿ⁺³(指数法則)…∗∗
∗,∗∗より、1<xならば、任意のnにおいてxⁿ<xⁿ⁺¹が成立します。
大小関係の性質より
$1<n,x⇒(x⁻¹)ⁿ⁺¹<(x⁻¹)ⁿ$
以上より
$∀ε,∃N∈ℕ,∀n∈ℕ:n≧N⇒|\dfrac{1}{n²}-0|<ε$
アルキメデスの性質より、任意の実数より大きな自然数は必ず存在します。
$\displaystyle \lim_{ n \to \infty }\dfrac{n}{2n+1}=\dfrac{1}{2}$
$\dfrac{n}{2n+1}$(仮定)
$\dfrac{\frac{n}{n}}{\frac{2n+1}{n}}$(乗法逆元)
$\dfrac{1}{\frac{2n+1}{n}}$(乗法逆元)
$\dfrac{1}{\frac{2n}{n}+\frac{1}{n}}$(指数法則)
$\dfrac{1}{\frac{2n}{n}+0}$(極限)
$\dfrac{n}{2n}$(指数法則)
$\dfrac{1}{2}$(指数法則)(乗法逆元)
$\displaystyle \lim_{ n \to \infty }-2n$が収束しない証明
実数 x の絶対値は「実数から符号を取り除いたもの」:
$\displaystyle |x|:=\max\{x,-x\}={\begin{cases}x&(x\geq 0)\\-x&(x<0)\end{cases}}$として[8]、あるいは「0 からの距離」[注釈 2]:
$\displaystyle |x|:={\sqrt {x^{2}}}$として[9]:A5与えられる。実数に対してこれら二つの条件は互いに同値である。
絶対値の性質
基本的な性質として、任意の実数 a, b について
非負性:
|a| ≥ 0.
非退化性:
a = 0 のとき、且つそのときに限って、|a| = 0.
偶性: |−a| = |a|.
劣加法性: |a + b| ≤ |a| + |b|.
などが成立する。
順序群Gにおける正の元x, y について、xがyに対して無限小である（あるいは、yがxに対して無限大である）とは、任意の自然数 n について nx がyより小さいこと、つまり以下の不等式が成立することである。
$\displaystyle \underbrace {x+\cdots +x} _{n}<y.$
$∃α∈ℝ,∀ε∈ℝ,∀n∈ℕ,∃N∈ℕ:n≧N⇒|-2n-α|<ε$(収束定義)
$⇒\|-2n-α|･ε⁻¹<1$(乗法逆元)
絶対値は正の実数。任意のεの逆元は実数。任意の実数にはそれより大きな実数が必ず存在します。
アルキメデスの性質より、あるNに固定して任意にεを動かすなら、1より大きな$|-2n-α|･ε⁻¹|を構成できます。
例えば任意のεへ1<xの$x･|-2n-α|$※を代入すれば
$|-2n-α|･x･|-2-α|⁻¹)<1$(仮定)
$|-2n-α|･|-2-α|⁻¹･x<1$(交換法則)
$x<1$(乗法逆元)
$x>1∧x<1$(※∧導入)
$⊥$(排中律)
背理法により$\displaystyle \lim_{ n \to \infty }-2x$は収束しないと言い換えられます。
OpenAIに作ってもらった極限の問題を解きます。
$\displaystyle \lim_{ n \to \infty }-1ⁿ$
-1ⁿは1と-1に振動しそうです。
$n=2x$
$n=1$(数学的帰納法仮定)
$-1^{2}=-1･-1(べき乗定義)
-1･-1=1$(乗法逆元の逆元)…①∗
$-1^{2n}=-1^{2}･1^{n}=-1･-1･-1^{n}(指数法則)
1･1^{n}$(①)
1^{n}(乗法単位元)
1(指数法則)…∗∗
∗,∗∗より、数学的帰納法が成立します。よって、指数が偶数の場合はxⁿは1へ収束します。
指数が奇数の場合。
$-1^{2n+1}$(仮定)
$-1^{2n}･-1$(べき乗定義)
$1･-1$(乗法単位元)
$-1$
奇数ならxⁿは-1へ収束します。
ℕは奇数と偶数の和集合なので、xⁿは1と-1振動します。
収束しないのとを証明するのが目標なので、極限が存在しないことを表明します。$¬(∀ε>0,∃N∈ℕ,∀n∈ℕ:n≧N⇒|x_{n}-α|<ε)$(仮定)
全称記号と存在記号の性質を利用して変形$∀α,∃ε,∀N∈ℕ,∃n∈ℕ:n≧N⇒|x_{n}-α≧ε|$(∀∃変形)
$∀α,∃ε,∀N∈ℕ,∃n∈ℕ:n≧N⇒|x_{n}-α≧1|$(∀∃変形)
$max(x_{n})=1$なので、十分に大きなαを選べば、必ずεを上回ります。
$\displaystyle \lim_{ n \to \infty }\dfrac{3n+1}{2n+5}=\dfrac{3}{2}$
$n∈ℕ⇒n<n+n=2n$(加法律)
$n∈ℕ⇒2n<2n+5$(加法律)…①
自然の順序関係には下の関係があります。
$n∈ℕ⇒n<2n<2n+5$(①)
自然数の逆数は順序関係が逆転します。
よって下の関係が保証されます。
$n∈ℕ⇒\dfrac{1}{2n+5}<\dfrac{1}{2n}<\dfrac{1}{n}$(<法則)
分子をxに固定して任意の大きな分母を選べば、その数列は0へ収束します。
$\displaystyle \lim_{ n \to \infty }\dfrac{x}{n}=0$(極限)
よって極限を取る場合ははさみ打ちの原理により以下の関係が成立します。
$\displaystyle \lim_{ n \to \infty }n∈ℕ⇒0<\dfrac{1}{2n+5}<\dfrac{1}{2n}<\dfrac{1}{n}<0$(<法則)
$\dfrac{1}{2n}=\dfrac{1}{2n+5}=0$(はさみ撃ち原理)
以上から
$\displaystyle \lim_{ n \to \infty }\dfrac{3n+1}{2n+5}$(仮定)
$\displaystyle \lim_{ n \to \infty }\dfrac{3n}{2n+5}+\dfrac{1}{2n+5}$(分数加法)
$\displaystyle \lim_{ n \to \infty }\dfrac{3n}{2n+5}+0$(はさみ撃ち原理)
$\displaystyle \lim_{ n \to \infty }\dfrac{1}{\frac{2n+5}{3n}}$(分数言い換え)
$\displaystyle \lim_{ n \to \infty }\dfrac{1}{\frac{2n}{3n}+\frac{5}{3n}}$(分数加法)
$\displaystyle \lim_{ n \to \infty }\dfrac{1}{\frac{2n}{3n}+0}$(①)
$\displaystyle \lim_{ n \to \infty }\dfrac{3n}{2n}$(分数言い換え)
$\dfrac{3}{2}$(乗法逆元)
よって
$\displaystyle \lim_{ n \to \infty }\dfrac{3n+1}{2n+5}=\dfrac{3}{2}$
はさみ撃ちの原理
数列に関する命題3つの実数列 {an}, {bn}, {cn} について、常に an ≤ bn ≤ cn であって、
$\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }c_{n}=A$
（A は定数）ならば、
$\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}=A$が成り立つ。
$\displaystyle \lim_{ n \to \infty }(-1)ⁿ･\dfrac(1)(n)=0$
第一問目で-1の極限は1と-1に振動することを証明しています。
$-1･\dfrac{1}{n}$と$1･\dfrac{1}{n}$を考えます。
前者から。
$-1･\dfrac{1}{n}$(仮定)
$-1･0$(極限)
$0$(情報収集単位元)
1の場合も同様に0に収束します。
よって
$\displaystyle \lim_{ n \to \infty }(-1)ⁿ･\dfrac(1)(n)=0$
$\sqrt{n²+n}-n=1$
中学で習った乗法の展開法則を利用します。
(a+b)(a-b)=a²-b²…①
証明
$\sqrt{n²+2n}-n$
$(\sqrt{n²+2n}-n)･1$
$(\sqrt{n²+2n}-n)･\dfrac{\sqrt{n²+2n}+n}{\sqrt{n²+2n}+n}$(乗法逆元)
$\dfrac{(\sqrt{n²+2n}-n)･(\sqrt{n²+2n}+n}{\sqrt{n²+2n}+n}$(結合法則)
$\dfrac{n²+2n-n²}{\sqrt{n²+2n}}$(①)
$\dfrac{2n}{\sqrt{n²+n}}$(加法逆元)
$\dfrac{2n}{\sqrt{n²}･\sqrt{1+\dfrac{1}{n}}}$(分配法則)
$\dfrac{2}{n･\sqrt{1+\dfrac{1}{n}}}$(乗法逆元)
$\dfrac{2}{1+\sqrt{1+0}}$(極限)
$\dfrac{2}{1+\sqrt{1}}$(加法単位元)
$\dfrac{2}{1+\sqrt{1･1}}$(乗法単位元)
$\dfrac{2}{1+\sqrt{1²}}$(指数法則)
$\dfrac{2}{1+1}$(べき乗)
$\dfrac{2}{2}$(自然数加法)
$1$(乗法逆元)
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