有理数は循環小数
有理数（ゆうりすう、英: rational number）とは、整数の比（英: ratio）として表すことができる実数のことである。分母・分子ともに整数の分数（分母≠0）として表すことができる実数との説明もされる。整数は、分母が 1 の分数と考えることにより、有理数の特別な場合となる。
すなわち、
Q={ab∣a,b∈Z,b≠0}
有理数は整数x,yで表現される数x/y。
循環小数は1/3など、0.3333…と小数点以下が無限に循環する数。
4/2は2.000000…と捉えれば循環小数。割った余りが0の場合は、0が無限に続く循環小数とみなすことができる①。
次に1以上の場合。
1/3を考える。常に1余る。余りは常に3より小さくなる。
①を踏まえると、x/yの余りaは常に
1≤a<y
つまり1を3で割れば、余りは常に3よりは小さいよね、と。余りは1から2が繰り返される形になります。
また、余りの幅3桁を切り取ると、取りうる値は2つだけなので、1から2のいずれかが必ず重複します。
同じ値を同じ値で割ると常に同じ商と余りが出てきます。
同じ値が現れるとは、同じことをまた繰り返す、ということ。すなわち循環するということ。x/yは必ずy桁以下の繰り返しになります。
従って有理数は循環小数になります。
√2の無理数性
√2が無理数であることの証明は、小数点以下が無限に続く無理数の定義と数学の原理上に難しそうなので、背理法を用いて√2が有理数であるという仮定とその矛盾を導き√2が無理数であることを証明します。
無理数（むりすう、 英: irrational number）とは、有理数ではない実数、つまり整数の比（英: ratio）（分数）で表すことのできない実数のことである。
有理数（ゆうりすう、英: rational number）とは、整数の比（英: ratio）として表すことができる実数のことである。分母・分子ともに整数の分数（分母≠0）として表すことができる実数との説明もされる。整数は、分母が 1 の分数と考えることにより、有理数の特別な場合となる。
無理数（むりすう、 英: irrational number）とは、有理数ではない実数、つまり整数の比（英: ratio）（分数）で表すことのできない実数のことである。実数は非可算個で有理数は可算個であるから、無理数は非可算個あり、ほとんど全ての実数は無理数である。
偶数は定義上は偶数で割れます。奇数になると割れなります。分子分母のいずれもが偶数であるなら約分できます。
すなわち、有理数を限界まで約分するなら、分子分母のいずれかは常に奇数となります①。
また、√2を有理数と仮定します。√2=x/y②
①より、②のxとyのいずれかは必ず奇数であると言えます。
また、整数の乗法は閉じており、任意の整数の二倍は整数です。また、任意の整数の二倍とは偶数のことです。
すなわち、偶数は二乗しても偶数となります。
(2n)²=4n²=2×2n²=2a
仮定②の式の両辺にyをかけて二乗します。
2y²=x²
左辺は任意の整数yの二倍なので偶数。
また、同値関係が成り立つので右辺も偶数となります。
x=偶数,y=偶数
となり仮定①と矛盾します。
よって、背理法により√2は有理数ではない、すなわち無理数であることが証明されました。
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