負数について考えてみたんですが。
正の整数（自然数）と同じ定義でいけるかなあと。
-1が-∞の方向へ増えるのだと考えていいのならですが。
その場合、正の整数と演算で交わる場合には正・負の方向性の違いを持たせる必要がありますが、負と負であるなら正と正の演算の方法流用できます。
で、方向は下のように定義してはどうかと。
正方向 a=a×1
負方向-a=a×-1
負の乗法をこう定義。
-0=0
-a×0=0
a×-s(b)=(a×-b)+(-a)
試してみます。
2×-1(前提)
(2×0)+(-2)(負数乗法)
0+(-2)(自然数乗法定義)
-2+0(自然数加法交換法則)
-2(自然数加法)
-2×-1(前提)
-1×(2×1)(分配法則)
-1×(2×0)+2(自然数乗法法定義)
(-1×0)+2(自然数乗法定義)
0+2(自然数乗法定義)
2+0(自然数加法交換法則)
2(自然数加法定義)
-2×1(前提)
(2×(-1))×1(負数定義)
(2×(-1))×0+(2×(-1))(負数乗法定義)
0+(2×(-1))(負数乗法定義)
2×(-1)(自然数加法定義)
(2×0)+(-2)(負数乗法定義)
0+(-2)(負数乗法定義)
-2+0(自然数加法交換法則)
-2(自然数加法定義)
とりあえずは上手く行ったので
A={ℕ∈x×-1}
自然数に-1をかけた要素からなる集合Aを負数として一先は定義しておきます。
自然数に-1がかかっているたけなので、定義によりマイナスを外へ出すと負数同士なら自然数の加法が成立します。
-2+-2(前提)
2×-1+2×-1(負数定義)
(2+2)×-1(分配法則)
(4×-1)(自然数加法定義)
(4×0)+(-4)(負数乗法定義)
0+(-4)(自然数乗法定義)
-4+0(自然数加法交換法則)
-4(自然数加法定義)
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