加算無限同士の加法

参考書の有理数と自然数の濃度が等しいことの証明は、理解はできるんだけど、視覚的に同値の対応関係が示されているだけなのが気持ちが悪いので我流で証明します。

可算集合とは N と濃度が等しい集合のことである[1]。すなわち、集合 S が可算であるとは、自然数全体の集合 N との間に全単射が存在することをいう

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証明

偶数と自然数は全単射
$n∈ℕ:n⇒2n…①$
この対応関係は、自然数の定義から論理的に必ず構成できます(アルキメデスの性質)。
奇数も然り。
$n∈ℕ:n⇒2n+1…②$

自然数-偶数=奇数
自然数=偶数+偶数…③
①②より偶数と自然数、奇数と自然数の濃度は同値だと言えます。
また③より、偶数と奇数を足した集合の濃度と自然数の濃度は同じ
|偶数|+|奇数|=|自然数|

つまり、
加算無限+加算無限=加算無限…④

有理数

$\displaystyle \mathbb {Q} =\left\{{a \over b}\mid a,b\in \mathbb {Z} ,b\neq 0\right\}$

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分母が1の有理数の集合$ℚ_{1}$を考える。
$\frac{1}{1},\frac{2}{1},\frac{3}{1}…$
この集合は有理数の定義より、自然数と濃度が同じ。

次に分母が2の場合の$ℚ_{2}$を考える。
この場合も自然数と濃度は同じ。

また、
加算無限+加算無限=加算無限
よって
$ℚ_{1}+ℚ_{2}$は加算無限。

同様に分母が3の$ℚ_{3}$を$ℚ_{1}+ℚ_{2}$に加算した$(ℚ_{1}+ℚ_{2})+ℚ_{3}$も加算無限。

また、分母を$n$と仮定した場合は、自然数との全単射が成り立つ。
分母が$n+1$でも、自然数と全単射が成り立つ。

分母1から順に加算無限を足し合わせていく構成になる。
((加算無限+加算無限)+加算無限…加算無限)=加算無限

数学的帰納法により、有理数は自然数との全単射を論理的に構成できる。

すなわち自然数と有理数の濃度は同じ。

まとめ。
有理数と自然数の濃度が同じことには、直感的に奇妙です。

「無限」の奇妙さは、ヒトの有限に閉じた直感には理解されません。

大天才ノイマン「数学においては何かを理解するなどということはない。ただ慣れるだけである」

直感に理解させようって思うから難しいのかも。