ランダウの記号

定義
意味

定義

十分大きい全ての実数 x に対し定義されている実数値関数 f(x) と g(x) に対し

\displaystyle f(x)=O(g(x))\quad (x\to \infty )

を

\displaystyle {}^{\exists }x_{0},{}^{\exists }M>0\quad {\text{ s.t. }}\quad {}^{\forall }x\;[x>x_{0}\Rightarrow |f(x)|\leq M|g(x)|]

と定義し、「f(x) が x \to \infty のとき オーダーO(g(x)) である」と呼ぶ。

ウィキペディア

ε-N論法。

あるMを選べば、それより大きな$x_{0}$において、f(x)がg(x)よりに小さくなるなら、$f(x)=Og(x)$と表記する。

微分と似ていますが、ある瞬間の入出力の対応関係を切り取りたいというよりは、複数の関数間の増加率の差を分数で比較したい、つまり、ある方向へ向かう時の関数の性質を定性的に切り取るものだと直感します。

AIと議論したことを共有します。

意味

何の為に定義されたか。

多項式の
$2x^{3}+10x^{2}+3x+10$①
を考えます。

これを$x^{3}$を分母にして極限で無限に飛ばすと
$2x^{3}$以外は0になります。ランダウ記号なら$f(x)=O(x^{3})$かな？いまいち使い方を理解してません。

意味としては、$2x^{3}+10x^{2}+3x+10$をランダウの記号で無限大へ飛ばした場合は、$x^{3}$がその挙動が支配しているよ、つまり、関数の入力が十分に大きい場合は、$2x^{3}$がその挙動をしはいしているよ。この場合は①を$2x^{3}$として考えられるから、計算が楽になるよ、です。多分。

例えば1000まで飛ばすと。
$2×1000^{3}=2000000000$
$10×1000^{2}=10000000$
$3×1000=3000$
$10=10$
多い影響力を$2x^{3}$が握ります。xを大きくするだけ他の項の影響力は失われます。

上は単純な関数ですが、例えば
$x^{iex}+10000xie^{π}…$
という風に超複雑な関数のある変数だけを増加させた場合の影響力を確かめたいことって、例えば多体系の物理法則を調べたいなとな場合においては、普通にあるんじゃないかなと。

AIに少し質問して返ってきた解答から推測してますので、違うかもしれませんが。

例えば、最近の話題にしている二軸パンチの衝撃を構成する肩と股関節の振動の合成を表現する関数を発見したとしたら、その中の最も影響力のある変数を特定することは、練習の効率を高めてくれます。

ランダウの記号のように数式化してしまうと日常的な感覚から乖離して、複雑に見えてしまちすが、ランダウ記号がやっていることは僕らが日常的にやっていることです。

例えば、トレーニングにおいて、ベンチプレスとスクワットを入力したら競技能力(出力)はこれだけ変化した。どれがどの程度競技能力の向上に寄与しただろうか?みたいな推論です。、

みなさもこうやって無自覚に重要な変数を抜き出そうとしいるはずです。

これを繰り返している内に「腸腰筋」「前鋸筋」ののうな、競技能力に大きな影響力を持もつ変数が特定されます。

経済や物理のような要素が絡み合うな複雑な系を扱う、またその操作が社会に甚大な影響を与えると考えられる場合は、どの変数に何をどう作用させるのが最も効率的か？を考えことは必ず要求されると思います。

そんな時にランダウの記号が活躍するのだと思います。