微分と物理

数学とか

2026.03.22

行列勉強してたら脱線。微粉。

ざっと定義式の構成を学んだら使ってみたくなるのが男の性。

ベクトル→運動→時間微分→運動量とエネルギーが気になる…

物理と微分

力
運動量 p はニュートンの運動方程式、
$\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {p}}}{dt}}={\boldsymbol {F}}(t)$

質点の運動量は、質点の速度に比例する。質点の運動量は、質点の速度を v と表し、比例係数を m とすると、

$\displaystyle {\boldsymbol {p}}=m{\boldsymbol {v}}$

で与えられる。

ウィキペディア

例えば物体の運動について、ある時刻t1における物体の位置ベクトルをx1、時刻t2のときの物体の位置ベクトルをx2とすると、この時間区分における物体の平均速度

$\displaystyle {\bar {\boldsymbol {v}}}={{{\boldsymbol {x}}_{2}-{\boldsymbol {x}}_{1}} \over {t_{2}-t_{1}}}$

ウィキペディア

エネルギーで、ニュートン力学で

$\displaystyle K({\boldsymbol {p}}):={\frac {\left|{\boldsymbol {p}}\right|^{2}\!\!}{2m}}\,{\overset {{\boldsymbol {p}}=m{\boldsymbol {v}}}{=\!=}}\,{\frac {1}{2}}m|{\boldsymbol {v}}|^{2}$

ウィキペディア

運動量の時間微分が力。運動量は速度の質量(スカラー)倍。瞬間速度は位置ベクトルの時間微分。

つまり、位置ベクトルの時間の二階微分の質量倍が力。

ウィキペディアの定義式を見た時の直感的な疑問。
「運動エネルギーはスカラー量のはず。であるなら速度ベクトル$\boldsymbol{v}$は$\|\boldsymbol{v}\|(ノルム)$で表記されるべき」。

理由をAIに質問。

運動エネルギーの定義は、力 $\mathbf{F}$ と微小変位 $d\mathbf{r}$ の内積の積分から導かれます。

K = \int \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int m \frac{d\mathbf{v}}{dt} \cdot \mathbf{v} dt = \int m \mathbf{v} \cdot d\mathbf{v}

この計算の結果、現れるのは $\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}$ という**「自分自身との内積」**です。

補足
コーシー・シュワルツ不等式で利用した定理
$⟨\boldsymbol{A,B}⟩=\|A\|\|B\|cosΘ$
用いて
$⟨\boldsymbol{v,v}⟩=\|x\|\|x\|cosΘ$
また、同じベクトル同士のなす角は$cos0=1$(弧度法)
$⟨\boldsymbol{v,v}⟩=\|x\|\|x\|･1$
$v^{2}$

ベクトルの世界において、自分自身との内積は自動的に「ノルムの2乗（ $\|\mathbf{v}\|^2$ ）」になります。(補足)

なぜ記号を省くのか： 物理学の慣例として、ベクトルの太字（ $\mathbf{v}$ ）ではない普通の文字（ $v$ ）で書く場合、それは「ベクトルの大きさ（ノルム）」を指すという暗黙の了解があるためです。

ということらしいです。ややこしい。

物理学の作法。
同じベクトルの内積なんだから、後は言わなくても分かるよな？

知ってたから聞けば「そっか」だけど。初学者殺し。今はAIが直ぐに教えてくれるけど。

ベクトルって何

点とベクトルn次元空間における点はn個の実数の組。$(x_{1},x_{2},x_{3}...x_{n})∈ℝ^{n}$n次元空間における線はn個の実数を持つ組A,Bで$\vec{AB}$$\vec{AB}≠\vec{BA}$と表す。順序が...

定義式を見れば、エネルギーと運動量の違いは明らか。エネルギーはスカラー量。向きは定義されない,

また、運動エネルギーを速度微分すると
$\frac {1}{2}m|{\boldsymbol {v}}|^{2}$(運動エネルギー)
$\dfrac{d}{dv}\dfrac{1}{2}mv^{2}$(微分)
$\dfrac{1}{2}･2mv$(展開法則)
$mv$(乗法逆元)
運動量が現れる。

微分は積分の逆演算。

$\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) dt = f(x)$
AI

式の構成としては、t(時間)で微分したもの(直線)を、aからxまで積み上げたものが積分。すなわち、面積が積分。

物理的には、
時間aからxまでの瞬間の速度(加速度)ベクトルを合成(積分)してしたものが速度ベクトル。

その速度ベクトルを合成したものが位置ベクトル。

逆に遡るのが微分。

微分は対象を分解、積分は対象を(再)構成すること。

エネルギーは力を蓄積させたもの。
運動量は力を時間で積分させたもの。

力を累積(積分)させたのが運動エネルギー。
運動エネルギーは力を距離で積分。

運動量はどれだけ勢いがあるか(ベクトル)。
エネルギーはどれほど仕事(※)をこなせるか(スカラー)
※動かしたり変形させたり

エネルギーの誤用

方向があるのが運動量。エネルギーにはそれがない。

何かを閉じ込めている常態。どの程度の仕事をこなせるのかの量。だからポテンシャル。

「あの人には負のエネルギーがある」
定義より、エネルギーには方向はない。負の方向がない。そもそま$v^{2}$だから負にならない。

内向きのエネルギーも外向きのエネルギーも誤用。

エネルギーは仕事をこなせる量。ポテンシャル。

ポテンシャル⇒確率の偏り

才能とか努力の話。ポテンシャル≒確率の偏りフラクタル構造ポテンシャルは確率の勾配(偏り)。例)腸腰筋が股関節ロックと肩甲骨ロックを導く確率を高め、それが二軸打法や肩甲骨平面、背屈ロックを発見する確率を高める。例2)最初のパターン認知が次のパ...