等差数列
調和数列の面白い性質
僕が面白いと思った性質。
$\sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{n^{1}}⇒∞$
$\sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{n^{2}}⇒\dfrac{π^{2}}{6}$
指数が1なら発散、2より大きい場合は収束。
※証明には未知の概念が頻出したので理解できなかった。もう少し勉強して挑戦します。
数学的に特定の構造以外は彼方へ飛ばされるって面白いですよね。
物理的に速度が上がるほど縮む、高速に頭を押さえつけられて速度が上がらなくなるとかありましたよね。
子供の頃に「え？恐ッ」と思った記憶があります。
コーシー列
閑話休題。
コーシー列について。
コーシー列は、数列$x_n$を極限へ飛ばすとn番目とn+1番目の項の差が0へ限りなく近づく数列。
すなわち先へ進む毎に進むスピードが遅くなる数列。
無限数列 (xn) について
$\displaystyle \lim _{n,m\to \infty }|x_{n}-x_{m}|=0$
が成り立つとき、数列 (xn) はコーシ－列である（あるいはコーシー的である、コーシー性を持つ）という。
調和数列と何が違うのかと。
直感的には似てますが、厳密に考えると異なります。
$\dfrac{1}{x^{n}}$は0へ収束する(#)コーシー列ですが、調和数列の定義は満たしません。
また、任意の数だけで構成された数列、例えば、{0,0,0,0…}はコーシー列です。が、調和数列の定義を満たしません。
つまり
調和数列⊂コーシー列
#で、直感的かつ感覚的に「コーシー列は0へ収束する」と述べました。が、その証明はしていません。誤りかもしれません。
コーシー列と収束(≒極限)の違いは、収束先がその定義に用意されているか否か。
「コーシー列は収束する数列と同値だ」の直感を証明してみます。
収束する数列⇒コーシー列
まずは
収束する⇒コーシー列
準備1
三角不等式
|x+y|≦ |x|+|y|
絶対値かaであるxの定義域は
-a<x<a
つまり、||の中で+を作用させた値と||の外で+を作用させた値は異なる場合があり得えます。
例)三角不等式の具体的な意味
|1+(-2)|=1
|1|+|-2|=3
である可能性があるので、
|x+y|≦|x|+|y|
また、絶対値定義
|x-y|=|y-x|
収束する数列
$∀ε>0,∃N∈ℕs.t∀n:n>N⇒|x_{n}-α|<ε$
すなわち
N<n,mならば
$|x_{n}-α|+|x_{m}-α|<2ε$
となります。
$|x_{n}-α|+|x_{m}-α|<2ε$(仮定)
$|x_{n}-α|+|α-x_{m}|<2ε$(交換法則)
$|x_{n}-α+α-x_{m}|<2ε$(三角不等式)
$|x_{n}-x_{m}|<2ε$(加法逆元)
$|x_{n}-x_{m}|<ε(ε=\frac{ε}{2}$代入)
収束する数列⇒コーシー列
は成り立ちます。
次は
コーシー列⇒収束する数列
コーシー列⇒収束する数列
上の演繹を単純に逆回転させようと試みましたが
$|x_{n}-α+α-x_{m}|<ε$
から
$|x_{n}-α|+|α-x_{m}|<$
を演繹してよい根拠が現状は分かりません。
※絶対値を外した後で<εが保たれる根拠がない
別の方法でやります。
コーシー列の構成要素である、∃N∈ℕのNと∀m,n∈ℝの小さい方(便宜上mとする)を一致させる関係を固定します。
また、εを定数aに固定します。
この場合のコーシー列は
$|x_{n}-x_{m}|<a$(仮定)
$-a<x_{n}-x_{m}<a$(絶対値)
$-a+x_{m}<x_{n}<a+x_{m}$(加法逆元)
「収束する数列」の定義は、Nとεを決定した瞬間に∀nの取りうる範囲が決定される、かつそれは$a+x_{m}$(その瞬間の定数)に押さえつけられる論理的な構造になっています。
つまり上限(≒下限)が決定されます。
つまり、コーシー列のmをNに固定すれば、nはどう動かしてもあるε内に収まる。また、加法逆元と<の性質により、同値関係を維持したまま$x_{m}$を移できる。この場合はnの取りうる範囲は、$x_{n}$は$-a+x_{n}<x_{n}<a+x_{m}$と決定される。
上限がある証明
上で示したように、Nとεを決定して数列の動きが止まった(ように見える)瞬間に現れている$x_{n}$をかき集めてできた集合と、それにa+x_{m}$を加えた和集合をAと定義して空間を閉じます。
$A=\{x_{1},…x_{n},a+x_{n}\}$
sup(A)はAの定義より存在します。
つまり、コーシー列には収束点が存在します。
コーシー列⇔収束する数列
証明終わり。
意味を見いだそうとせずに形式だけを考察するなら、混乱は起こらないに感じます。
混乱は、作業開始時には動きまわっている∀m,nを、Nとεの論理的な性質によって閉じ込めて動きを封じようとすることにあるように思います。
自己言及的に結論が動き回るラッセルのパラドックスやモンティ・ホール問題と似たような構造なのかなと。認知が混乱するの形式的だと思います。
混乱したら、「動きを封じられる変数の動きを封じる」「自己言及的に結論か動き回る構造に着目する」をやってみる。
上の解釈は僕のゴーストの囁きに過ぎませんので悪しからず。
数学が得意な人は意味を考えずに形式的な操作に集中する人なんですかね。
それに人間的な意味を見いだそうとするのが哲学者。
数学者論理学者「言語による記号操作では説明できない領域がある(ﾁｬﾝﾁｬﾝ♫」
哲学者「言語が及ばない領域…それが意味することは…(意味なんてない)」
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