aⁿがどこまでも大きくなる(ベルヌーイの法則)証明

数学とか

2025.10.012026.08.07

数学とか

アルキメデスの性質ベルヌーイの定理上限公理主義対数対数法則数学

対数を用いた証明

n=1の場合は上で示した通り。

以下n>1の場合。
$M=\log_{a}m$(仮定)

アルキメデスの性質は、任意の小さなx,任意の大きなyを選んだとしても、nを適当に選べば
n･x>y
が成り立つこと。

任意大きなyを
$y=log_{a}m$
と仮定、
この場合の対応するn･xを
$n･x=n･\log_{a}a^{a}$
と仮定します。

$n･\log_{a}a^{a}>\log_{a}m$(アルキメデスの性質)
$\log_{a}(a^{a})^{n}>\log_{a}m$(対数法則)
$a^{n}>M$(対数定義)

補足
対数の底や真数の入れ子構造に一般的な意味はありません。ある意味では恣意的に決めています。
つまり、単に「導きたい『結論の構造から『初期値(前提)』を逆算」しています。形式的な意味しかありません。
数学の面白さはこのドミノ倒しだと思います。座標とそのもの経路を決定する仮定が面白い。
補足終わり。

アルキメデスの性質が成立するなら、任意のMより大きな$a^{n}$は構成できます。

対数の方が単純ですね。対数が開発された意味をすこしだけ体感。