分数の逆元

無理数についてのお勉強。

連分数を用いると無理数の規則性が見いだせるとの情報をを聞きつけました。

その前に連分数の計算規則が公理から導出できるのかの確認。

$(\frac{x}{y})⁻¹$(仮定)
(x･(y⁻¹))⁻¹(分数定義)
x⁻¹･(y⁻¹)⁻¹(指数法則)
x⁻¹･y¹(乗法逆元の逆元)
$\frac{y}{x}$(分数定義)
$(\frac{x}{y})⁻¹$→$\frac{y}{x}$(→導入)…①

分数の乗法逆元をとると分子と分母が入れ替わります。

具体的には
$(\frac{1}{3}$)⁻¹=$\frac{3}{1}$

例1)
少し複雑にすると
$\frac{1}{\frac{11}{3}}$(仮定)
$1･(\frac{11}{3})⁻¹$(分数定義)
$1･\frac{3}{11}$(①)
$\frac{3}{11}$(乗法単位元)
$\frac{1}{\frac{11}{3}}→\frac{3}{11}$(→導入)…②

仮定→結論と演繹は結論→仮定と逆回転させられるので、同値関係が成立します。

$\frac{1}{\frac{x}{y}}⇔{\frac{y}{x}}$
このような変形が分数で行えます。

分数の加法

以前に導出した気がしますが、年の為に分数の加法の法則を導入しておきます。

$\frac{x}{y}+\frac{z}{y}$(仮定)
$x･y^{-1}+z･y^{-1}$(分数定義)
$(x+y)･y^{-1} $(分配法則)
$\frac{x+y}{y}$(分数定義)

連分数展開

連分数（れんぶんすう、英: continued fraction）とは、分母に更に分数を含む分数である。分子が全て 1 であるものは特に単純連分数または正則連分数（英: regular continued fraction）ともいう。単に連分数といえば、正則連分数を指す場合が多い。具体的には次のような形をとる。

1. $x=a_{0}+\frac{1}{a_{1}+\frac {1}{a_2+\frac{1}{a_{3}+…}}}$

$\frac{36}{11}$の連分数展開。

$\frac{33}{11}+\frac{3}{11}$(指数法則)
$3･11¹･11⁻¹+\frac{3}{11}$(乗法法則)
$3+\frac{3}{11}$(乗法逆元)
$3+\frac{1}{\frac{11}{3}}$(指数法則)…①

①をさらに展開します。

$3+\frac{1}{\frac{11}{3}}$(①)
$\frac{11}{3}=3+\frac{2}{3}$
$3+\frac{1}{\frac{3}{2}}$(分数の逆元)
$3+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}$(分数加法法則)

分子が1になったので終わり。

①とまとめると
$3+\frac{1}{3+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}}$

この計算方法を用いると、非循環小数である無理数にも規則性を見出すことができるようです。

ひとまずはここまで。