同型写像と群
f(e)=f(e･e)=f(e)･f(e)(群と同型写像)
f(e)･f(e)=f(e)(推移律)
ある要素に作用させると、もとの要素になる形(規則)は単位元。同型写像は単位元を保存する。
f(e)=f(e･e’)=f(e)･f(e’)(群と同型写像)
f(e)=f(e)･f(e’)(推移律)
単位元f(e)に作用させると単位元f(e)になる単位元f(e)以外の要素の存在。同型写像は逆元を保存する。
以上は下の演算規則が保存されれば導ける性質。
f (a･b)=f(a)･f(b)
つまり準同型写像は演算が保存されることの要請と捉えられます。
群に(準)同型写像を繰り返し作用させた場合も、その性質が保存される。具体的には整数→有理数→実数。常に整数の規則は保存される。
準同型写像、その心は。
群の準同型写像が定義できるなら、例えば物理空間であっても群の命題を適用できると考えられる。効率が良い。仮に群の定理に反する法則が見つかるのなら、新たに群とは別の空間として定義する、ということができる。つまり既知の空間と未知の空間の境界線を見えるようにした。
群
同型写像
同型写像
ある空間が既知の空間(≒群)であることを確かめる手順を定めたのが(準)同型写像。
全単射性で集合の同値性を示すような感じ。
1+1=2
という関係の規則だけを考えるなら、1,+,=,2のそれぞれの意味は捨像される。
1+1=2
を導く形式(規則)だけが見いだせば良い。
何もしない≒単位元、前進後退≒逆元
の認識の規則が記号化されている。
何かをどこかへ送る規則を要素、合成写像を演算、恒等写像e(x)=xを単位元、逆写像f(x)⁻¹を、任意の要素を単位元へ送る逆元と捉えるなら
f(x)･e(x)=f(x)
f(x)･f(x)⁻¹=f(x)
写像を集めた集合も群になる。
（結合法則）任意の G の元 g, h, k に対して、μ(g, μ(h, k)) = μ(μ(g, h), k) を満たす：
(∀g,h,k∈G[μ(g,μ(h,k))=μ(μ(g,h),k)].
（単位元の存在）μ(g, e) = μ(e, g) = g を G のどんな元 g に対しても満たすような G の元 e が存在する：
(∃e∈G)(∀g∈G)[μ(g,e)=μ(e,g)=g].
このような e は存在すれば一意であり、G の単位元という。
（逆元の存在）G のどんな元 g に対しても、μ(g, x) = μ(x, g) = e となるような G の元 x が存在する：
(∀g∈G)(∃x∈G)[μ(g,x)=μ(x,g)=e].
このような x は存在すれば一意であり、この x を g の G における逆元といい、しばしば g−1, あるいは演算を加法的に書く場合には −g で表される。
数学における恒等写像（こうとうしゃぞう、英: identity mapping, identity function）、恒等作用素（こうとうさようそ、英: identity operator）、恒等変換（こうとうへんかん、英: identity transformation）は、その引数として用いたのと同じ値を常にそのまま返すような写像である。集合論の言葉で言えば、恒等写像は恒等関係（こうとうかんけい、英: identity relation）である。
※現時点での長濱説。
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