一意性（いちいせい、英語: uniqueness）とは数学分野において、注目している数学的対象が「存在するならばただ一つだけである」或いは「ただ一つだけ存在している（つまり「存在して、かつ、存在するならばただ一つだけである」の意）」という性質である。
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実数乗法逆元の一意性

x⁻¹×(x⁻¹)⁻¹=1(R3)
(x⁻¹)⁻¹×x⁻¹=1(R4)
(x⁻¹)⁻¹×x⁻¹=x×x⁻¹=1(R3)
(x⁻¹)⁻¹=x(同値変形)

実数の任意の元には常に逆元がある。
つまり元x⁻¹にもその逆元(x⁻¹)⁻¹がある。それに交換律を適用する。同じ形になる。同値変形が成立する。

実数の乗法が一意的なら、それらは等しい。

実数乗法の一意性

x×y=x×z⇒y=z
xに乗法を作用させた場合に、等しい結果が得られるなら、それらの元は等しい。

x×y=x×z(前提)
y(仮定1)
y×1(R2)
y×x×x⁻¹(R3)
x×y×x⁻¹(R4)
x×z×x⁻¹(前提同値変形)
z×x×x⁻¹(R4)
z×1(R3)
z(R2)
y→z(→導入)
(x×y=x×z)→y=z

z→y
は面倒なので省略しました。同じやり方で証明できるのは自明に見えるので逆も真なり、ということで。

1=1⁻¹

実数乗法逆元が実数乗法単位元と一致する証明。

1に1かけると1。
1に1⁻¹かけると1。

1×1=1(R2)
1×1⁻¹=1(R3)

上で証明したように実数乗法は一意。つまり、1にかけた場合の結果が1になる実数の元は常に等しい。すなわち1と1⁻¹は等しい。
よって
1=1⁻¹

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