dav
上は素朴集合論の∪∩の定義から導かれる分配法則とその証明。
以下は論理和と論理積の分配法則の自然演繹。
1.[A](仮定)
2.A∨B(∨導入)
4.A∨C(∨導入)
5.(A∨B)∧(A∨C)(∧導入)
6.A→(A∨B)∧(A∨C)(→導入)
7.[B∧C](仮定)
8.B(∧除去)
9.A∨B(∨導入)
10.C(∧除去)
11.A∨C(∨導入)
12.(A∨B)∧(A∨C)(∧導入)
13.B∧C→(A∨B)∧(A∨C)(→導入)
14.A∨(B∧C)(仮定)
15.(A∨B)∧(A∨C)(∨除去)
16.A∨(B∧C)→(A∨B)∧(A∨C)(→導入)
1.[A∧B],[A∧C](仮定1,仮定2)
2.A,B(∧除去)
3.B∨C(∨導入)
4.A∧(B∨C)(∧導入)
5.A∧B→A∧(B∨C)(→導入)
5.A,C(∧除去)
6.B∨C（∨導入）
7.A∧(B∨C)(∧導入)
9.A∧C→A∧(B∨C)(→導入)
10.[(A∧B)∨(A∧C)](仮定3)
11.A∧(B∨C)(∨除去)
12.(A∧B)∨(A∧C)→A∧(B∨C)(→導入)
異なる手順から命題論理と素朴集合論の似たような法則が導かれているわけですが、これはきっと、見た目が異なるだけで、不要な情報を捨像すると意味は同じになるのだと思います。
集合 A と集合 B が与えられたとき、集合 A ∪ B を、A, B いずれかの集合の少なくとも一方に含まれる元 x の全体
(x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A または x ∈ B)
として定めて、あるいは同じことだが
A∪B:={x∣x∈A or x∈B}
として定義される集合を、集合 A, B の和集合と呼ぶ。集合 A, B の交わりは A ∩ B と記される[5]。これは
x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A かつ x ∈ B
ということであり、記号では
A ∩ B = { x | x ∈ A ∧ x ∈ B }
と書ける。
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補集合:A-B=A∧¬B
と仮定すると
A-(B∪C)⇒A∧¬(B∨C)(仮定)
A∧¬B∧¬C(仮定より)
A∧A∧¬B∧¬C(冪等律)
A¬B∧A∧¬C(交換法則)
(A-B)∧(A∧¬C)(結合法則)
A-(B∪C)⇒A∧¬(B∨C)⇔(A-B)∧(A∧¬C)
と自然演繹によっても同じ法則を導けます。
結論。
異なる手法のようでいて、抽象すると、実際には同じことをしいる。別の視点から同じことを話しているだけ。
正確には人は現実ではなく、認識を認識している。多分。だから現実宇宙でなら許されるる矛盾が、認識世界では禁止されている。認識宇宙で禁止なだけで、現実宇宙では禁止されていない。
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