乗法の交換法則その2

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乗法の交換法則

すべての自然数 a に対して a × 0 = 0
すべての自然数 a, b に対して a × suc(b) = (a × b) + a

Wikipedia

0×a=a×0

任意のaに0をかけると、aの位置にかかわらず0となることが証明できました。

次は任意のabに対して

b×a=a×b

が成り立つことの証明に挑戦します。

任意のaに対して

b×a=a×b

が成り立つなら、その後者においても

s(b)×a=a×s(b)

が成り立つ、という数学的帰納法を用いたい。

b×a=a×bが成り立つと仮定します(仮定①)。

a×s(b)(前提)
(a×b)+a(乗法定義)
(b×a)+a(仮定①)
b×s(a)(乗法定義)

遡ればb×s(a)→a×s(b)も真を満たす必要十分条件なので

a×s(b)⇔b×s(a)

であることが論理的に証明できました。

次に任意のaに対してa×0=0×aの交換法則が成立することを証明できればいいのですが、それは前の記事で証明済。

というわけで乗法における交換法則

a×b=b×a

が証明できました。

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Die Hard – ダイ・ハード
この記事を書いた人

第41第東洋太平洋(OPBF)ウェルター級王者
元WBC世界同級34位
元WBO-AP同級3位
元角海老宝石ジム所属

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