減法の我流定義を作っていると、どうしても負数って概念が必要になりました。
0-a
をなんとかしないと気持ちが悪い。
解消しようとすると負数を出現させないといけません。
当然ながら別に負数である必要はなく、それを禁止して別の僕だけの数学世界を作っても面白い発見があるかもしれないし、そもそも人類とは別の認識を持つ生命体なら別の概念を用意するかもしれません。でも、僕は既に負数を知ってしまってるので、それがどうしてもちらついて気持ちが悪い。なので負数として定義してみます。
で、負数について考えてみると。
正負は方向性のような概念ですよね。人の左右って認識が先にあるのだとは思います。
その二つの方向性が要求されるのは、正負の二つの概念が交わる空間で、です。
そこで初めて正負が意味を帯びます。
つまり加法減法などの演算で正負の概念を繋いだ時に初めて方向性のような認識を定義する必要が出てきます。
-1を見ると僕たちは勝手にマイナスという方向を認識してしまいますが、マイナスを含めた「-1」を全体で一つの記号と考えると1となんら変わりません。
別々の空間に鏡合わせに存在しているような感じですかね。この二つの世界は加法など演算でのみ繋がっています。
負数はマイナスも含めて一つの記号、量だとします。
-1+-2
を自然数の定義で変形してみます。
1.-1+-2(前提)
2.-1+s(-1)(同値変形)
3.s(-1+-s(0))(加法定義)
4.s(s((-1+0))(加法定義)
5.s(s(-1))(加法定義)
6.-3(同値変形)
後者関数s()は加法ではなく、マイナス方向に量を増加されると考えてください。
記号が異なるだけで正の自然数の定義を用いて人の加法の認識をマイナス宇宙でも表現できます。
つまり、何が言いたいかと言うと、負の自然数の定義はペアノの自然数の定義でも人の認識の要求を満たせるんじゃね？ってことです。
一先ずこれで無理になるまでやります。
次は負数の減法やっつけてみます。
ペアノ公理
Wikipedia
集合 ℕ と定数 0 と関数 Sと集合Eに関する次の公理をペアノの公理という[3][注 1]。
0 ∈ ℕ
任意の n ∈ ℕ について S(n) ∈ ℕ
任意の n ∈ ℕ について S(n) ≠ 0
任意の n, m ∈ ℕ について n ≠ m ならば S(n) ≠ S(m)
任意の E ⊆ ℕ について 0 ∈ E かつ任意の n ∈ ℕ について n ∈ E → S(n) ∈ E ならば E = ℕ
このとき ℕ の元を自然数といい、自然数 n に対して自然数 S(n) をその後者 (successor)[注 2]という。
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