含意から三段論法を演繹

暇つぶしに見て

2023.08.16

三段論法と仮定
1. 証明

三段論法と仮定

証明

下のような論理式
「AならばBかつBならばC、ならばAならばCである」

(A→B∧B→C)→(A→C)

「AならばBかつBならばCかつCであるならば、AならばCである」

(A→B∧B→C)∧A→C

大枠の含意(A→B∧B→C)∧A→Cの後件A→Cの含意の前件Aを、大枠の前件に∧を用いて組み込む同値変形が演繹できる、という性質です。これは普段の会話でも当たり前に使う論理ですが、実際に論理的に正しいのか証明して確かめてみます。

1.[(A→B∧B→C)→(A→C)](仮定)
2.¬(A→B∧B→C)∨(A→C)(→同値変形)
3.¬(A→B∧B→C)∨(¬A∨C)(→同値変形)
4.¬((A→B∧B→C)∧¬(¬A∨C))(ド・モルガンの法則)
5.¬((A→B∧B→C)∧A∧¬C))(ド・モルガンの法則)
6.¬(((A→B∧B→C)∧A)∧¬C)(結合法則)
7.¬((A→B∧B→C)∧A)∨C(ド・モルガンの法則)
8.((A→B∧B→C)∧A)→C(→言い換え)
9.((A→B∧B→C)→(A→C))→((A→B∧B→C)∧A)→C

補足
1.仮定
2.大枠の含意を同値変形
3.A→Cを同値変形
4.大枠の論理和を論理積に変換、かつ各項の否定
5.¬(¬A∨C)にド・モルガンの法則適用
6.結合法則を適用A∧B∧C⇔(A∧B)∧C⇔A∧(B∧C)
7.ド・モルガンの法則で¬を分配
8.大枠に→同値変形
9.同値変形の定理が完成