吸収律の証明

A⇔A∨(A∧B)
A⇔A∧(A∨B)
この定理が吸収律です、

吸収律

定義

吸収法則（きゅうしゅうほうそく、英: Absorption law）は、代数学において1対の二項演算を結びつける恒等式である。吸収律あるいは簡約律とも。

任意の二項演算 $\mathrm{と}a$ (a % b) = a % (a $b)=a.\mathrm{こ}\mathrm{の}\mathrm{と}\mathrm{き}、\mathrm{演}\mathrm{算}$ と % は一種の双対である

古典論理学がブール代数のモデルであるように、直観論理とハイティング代数には同様の関係がある。そのため、それぞれ論理和と論理積に対応する演算
∨${\displaystyle \vee }$と
∧${\displaystyle \wedge }$に吸収法則が成り立つ。

${\displaystyle a\vee (a\wedge b)=a\wedge (a\vee b)=a}$

ここで、= は論理式における同値の意味である。

Wikipedia

まずは
A⇔A∨(A∧B)

証明

1.[A]
2.A∨(A∧B)(∨導入)
3.A→A∨(A∧B)(→導入)

1.[A∨(A∧B)](仮定)
2.[A](仮定)
3.A
4.A→A(→導入)
5.[A∧B](仮定)
6.A(∧除去)
5.[A∧B→A](→導入)
6.A(∨除去)
7.A∨(A∧B)→A(→導入)

次に
A⇔A∧(A∨B)

1.[A](仮定)
2.A∨B(∨導入)
3.A∧(A∨B)(∧導入)
4.A→A∧(A∨B)(→導入)

1.[A∧(A∨B)](仮定)
2.A(∧除去)
3.A∧(A∨B)→A(→導入)

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2023.04.09